Номер 789, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.7. Деление с остатком. Глава 7. Многочлены - номер 789, страница 219.

789 a) Докажите, что если число не делится на 5, то на 5 делится его квадрат, увеличенный или уменьшенный на 1.

б) Докажите, что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1.

а)

Пусть $n$ — целое число, которое не делится на 5. Это означает, что при делении на 5 число $n$ может давать в остатке 1, 2, 3 или 4. Рассмотрим все четыре возможных случая.

1. Если $n$ при делении на 5 даёт остаток 1, то его можно представить в виде $n = 5k + 1$, где $k$ — целое число. Тогда его квадрат: $n^2 = (5k + 1)^2 = 25k^2 + 10k + 1 = 5(5k^2 + 2k) + 1$. Уменьшив квадрат на 1, получим: $n^2 - 1 = 5(5k^2 + 2k)$. Это число делится на 5.

2. Если $n$ при делении на 5 даёт остаток 2, то $n = 5k + 2$. Тогда его квадрат: $n^2 = (5k + 2)^2 = 25k^2 + 20k + 4 = 5(5k^2 + 4k) + 4$. Увеличив квадрат на 1, получим: $n^2 + 1 = 5(5k^2 + 4k) + 4 + 1 = 5(5k^2 + 4k + 1)$. Это число делится на 5.

3. Если $n$ при делении на 5 даёт остаток 3, то $n = 5k + 3$. Тогда его квадрат: $n^2 = (5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 5(5k^2 + 6k + 1) + 4$. Увеличив квадрат на 1, получим: $n^2 + 1 = 5(5k^2 + 6k + 1) + 5 = 5(5k^2 + 6k + 2)$. Это число делится на 5.

4. Если $n$ при делении на 5 даёт остаток 4, то $n = 5k + 4$. Тогда его квадрат: $n^2 = (5k + 4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 5(5k^2 + 8k + 3) + 1$. Уменьшив квадрат на 1, получим: $n^2 - 1 = 5(5k^2 + 8k + 3)$. Это число делится на 5.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи для числа, не делящегося на 5, и в каждом из них либо $n^2 - 1$, либо $n^2 + 1$ делится на 5. Утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Пусть $n$ — любое нечётное число. Любое нечётное число можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число.

Возведём это выражение в квадрат:

$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель 4:

$n^2 = (4k^2 + 4k) + 1 = 4k(k + 1) + 1$

Рассмотрим произведение $k(k + 1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. Из двух последовательных целых чисел одно всегда является чётным, поэтому их произведение $k(k + 1)$ всегда делится на 2. Следовательно, его можно представить в виде $k(k + 1) = 2m$, где $m$ — целое число.

Подставим это в выражение для $n^2$:

$n^2 = 4(2m) + 1 = 8m + 1$

Это равенство означает, что квадрат любого нечётного числа $n$ при делении на 8 даёт в остатке 1. Утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.