Номер 795, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 7. Многочлены - номер 795, страница 220.

795 Упростите выражение:

а) $(2n + 3)(n + 1) + (4n - 1)(n - 1) + 2;$

б) $(2n^2 - 1)(n + 1) - (n^2 + 1)(2n - 1);$

в) $((b + c)^2 - (b^2 + c^2))^3 - (3bc)^3;$

г) $((m - n)^2 + 2mn)^3 - 3m^2n^2(m^2 + n^2);$

д) $((x - y)^3 + 3xy(x - y))^2 + 2x^3y^3;$

е) $((y + z)^3 - (y^3 + z^3))^2 - 18y^3z^3.$

а) Для упрощения выражения $(2n + 3)(n + 1) + (4n - 1)(n - 1) + 2$ сначала раскроем скобки, перемножив многочлены:
$(2n + 3)(n + 1) = 2n^2 + 2n + 3n + 3 = 2n^2 + 5n + 3$.
$(4n - 1)(n - 1) = 4n^2 - 4n - n + 1 = 4n^2 - 5n + 1$.
Теперь подставим полученные выражения обратно и сложим их:
$(2n^2 + 5n + 3) + (4n^2 - 5n + 1) + 2 = 2n^2 + 5n + 3 + 4n^2 - 5n + 1 + 2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2n^2 + 4n^2) + (5n - 5n) + (3 + 1 + 2) = 6n^2 + 0 + 6 = 6n^2 + 6$.
Вынесем общий множитель 6 за скобки: $6(n^2 + 1)$.
Ответ: $6(n^2 + 1)$.

б) Для упрощения выражения $(2n^2 - 1)(n + 1) - (n^2 + 1)(2n - 1)$ раскроем скобки в каждом произведении:
$(2n^2 - 1)(n + 1) = 2n^3 + 2n^2 - n - 1$.
$(n^2 + 1)(2n - 1) = 2n^3 - n^2 + 2n - 1$.
Подставим результаты в исходное выражение и выполним вычитание:
$(2n^3 + 2n^2 - n - 1) - (2n^3 - n^2 + 2n - 1) = 2n^3 + 2n^2 - n - 1 - 2n^3 + n^2 - 2n + 1$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(2n^3 - 2n^3) + (2n^2 + n^2) + (-n - 2n) + (-1 + 1) = 0 + 3n^2 - 3n + 0 = 3n^2 - 3n$.
Вынесем общий множитель $3n$ за скобки: $3n(n - 1)$.
Ответ: $3n(n - 1)$.

в) Упростим выражение $(((b + c)^2 - (b^2 + c^2)))^3 - (3bc)^3$. Сначала преобразуем выражение во внутренних скобках:
$(b + c)^2 - (b^2 + c^2) = (b^2 + 2bc + c^2) - b^2 - c^2 = 2bc$.
Теперь исходное выражение принимает вид:
$(2bc)^3 - (3bc)^3$.
Возведем в куб каждый член:
$2^3b^3c^3 - 3^3b^3c^3 = 8b^3c^3 - 27b^3c^3$.
Выполним вычитание:
$(8 - 27)b^3c^3 = -19b^3c^3$.
Ответ: $-19b^3c^3$.

г) Упростим выражение $(((m - n)^2 + 2mn))^3 - 3m^2n^2(m^2 + n^2)$. Преобразуем выражение во внутренних скобках:
$(m - n)^2 + 2mn = (m^2 - 2mn + n^2) + 2mn = m^2 + n^2$.
Подставим результат в исходное выражение:
$(m^2 + n^2)^3 - 3m^2n^2(m^2 + n^2)$.
Воспользуемся формулой куба суммы $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$, где $a=m^2$ и $b=n^2$:
$(m^2)^3 + 3(m^2)^2n^2 + 3m^2(n^2)^2 + (n^2)^3 - 3m^2n^2(m^2 + n^2) = m^6 + 3m^4n^2 + 3m^2n^4 + n^6 - 3m^4n^2 - 3m^2n^4$.
Приведем подобные слагаемые:
$m^6 + (3m^4n^2 - 3m^4n^2) + (3m^2n^4 - 3m^2n^4) + n^6 = m^6 + n^6$.
Ответ: $m^6 + n^6$.

д) Упростим выражение $(((x - y)^3 + 3xy(x - y)))^2 + 2x^3y^3$. Преобразуем выражение во внутренних скобках, используя формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$(x - y)^3 + 3xy(x - y) = (x - y)((x - y)^2 + 3xy) = (x - y)(x^2 - 2xy + y^2 + 3xy) = (x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$.
Исходное выражение принимает вид:
$(x^3 - y^3)^2 + 2x^3y^3$.
Раскроем квадрат разности:
$(x^3)^2 - 2(x^3)(y^3) + (y^3)^2 + 2x^3y^3 = x^6 - 2x^3y^3 + y^6 + 2x^3y^3$.
Приведем подобные слагаемые:
$x^6 + (-2x^3y^3 + 2x^3y^3) + y^6 = x^6 + y^6$.
Ответ: $x^6 + y^6$.

е) Упростим выражение $(((y + z)^3 - (y^3 + z^3)))^2 - 18y^3z^3$. Преобразуем выражение во внутренних скобках:
$(y + z)^3 - (y^3 + z^3) = (y^3 + 3y^2z + 3yz^2 + z^3) - y^3 - z^3 = 3y^2z + 3yz^2 = 3yz(y + z)$.
Теперь исходное выражение выглядит так:
$(3yz(y + z))^2 - 18y^3z^3$.
Возведем в квадрат первый член:
$9y^2z^2(y + z)^2 - 18y^3z^3 = 9y^2z^2(y^2 + 2yz + z^2) - 18y^3z^3$.
Раскроем скобки:
$9y^4z^2 + 18y^3z^3 + 9y^2z^4 - 18y^3z^3$.
Приведем подобные слагаемые:
$9y^4z^2 + 9y^2z^4$.
Вынесем общий множитель $9y^2z^2$ за скобки: $9y^2z^2(y^2 + z^2)$.
Ответ: $9y^2z^2(y^2 + z^2)$.