Номер 794, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 7. Многочлены - номер 794, страница 220.

794 Найдите значение выражения:

а) $(x + 1)^2(x + 2) - (x - 1)^2(x - 2)$ при $x = \frac{1}{4}$; $x = -\frac{1}{6}$;

б) $(1 + y)(2 - y)^2 - (2 + y)(1 - y)^2 - 3(1 - y^2)$ при $y = -1.4$; $y = 2.5$.

а)

Для нахождения значения выражения сначала упростим его, раскрыв скобки.

Выражение: $(x + 1)^2(x + 2) - (x - 1)^2(x - 2)$.

Раскроем квадрат суммы и квадрат разности:

$(x^2 + 2x + 1)(x + 2) - (x^2 - 2x + 1)(x - 2)$

Теперь перемножим многочлены:

Первый член: $(x^2 + 2x + 1)(x + 2) = x^3 + 2x^2 + 2x^2 + 4x + x + 2 = x^3 + 4x^2 + 5x + 2$.

Второй член: $(x^2 - 2x + 1)(x - 2) = x^3 - 2x^2 - 2x^2 + 4x + x - 2 = x^3 - 4x^2 + 5x - 2$.

Выполним вычитание:

$(x^3 + 4x^2 + 5x + 2) - (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) = x^3 + 4x^2 + 5x + 2 - x^3 + 4x^2 - 5x + 2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + (4x^2 + 4x^2) + (5x - 5x) + (2 + 2) = 8x^2 + 4$.

Теперь, когда выражение упрощено до $8x^2 + 4$, подставим в него заданные значения $x$.

1. При $x = \frac{1}{4}$:
$8 \cdot (\frac{1}{4})^2 + 4 = 8 \cdot \frac{1}{16} + 4 = \frac{8}{16} + 4 = \frac{1}{2} + 4 = 4,5$.

2. При $x = -\frac{1}{6}$:
$8 \cdot (-\frac{1}{6})^2 + 4 = 8 \cdot \frac{1}{36} + 4 = \frac{8}{36} + 4 = \frac{2}{9} + 4 = 4\frac{2}{9}$.

Ответ: при $x=\frac{1}{4}$ значение выражения равно $4,5$; при $x=-\frac{1}{6}$ значение выражения равно $4\frac{2}{9}$.

б)

Упростим выражение $(1 + y)(2 - y)^2 - (2 + y)(1 - y)^2 - 3(1 - y^2)$, раскрыв все скобки.

Первый член: $(1 + y)(2 - y)^2 = (1 + y)(4 - 4y + y^2) = 4 - 4y + y^2 + 4y - 4y^2 + y^3 = y^3 - 3y^2 + 4$.

Второй член: $(2 + y)(1 - y)^2 = (2 + y)(1 - 2y + y^2) = 2 - 4y + 2y^2 + y - 2y^2 + y^3 = y^3 - 3y + 2$.

Третий член: $3(1 - y^2) = 3 - 3y^2$.

Теперь подставим раскрытые части в исходное выражение:

$(y^3 - 3y^2 + 4) - (y^3 - 3y + 2) - (3 - 3y^2) = y^3 - 3y^2 + 4 - y^3 + 3y - 2 - 3 + 3y^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(y^3 - y^3) + (-3y^2 + 3y^2) + 3y + (4 - 2 - 3) = 3y - 1$.

Теперь, когда выражение упрощено до $3y - 1$, подставим в него заданные значения $y$.

1. При $y = -1,4$ (в условии запятая - десятичный разделитель):
$3 \cdot (-1,4) - 1 = -4,2 - 1 = -5,2$.

2. При $y = 2,5$ (в условии запятая - десятичный разделитель):
$3 \cdot (2,5) - 1 = 7,5 - 1 = 6,5$.

Ответ: при $y=-1,4$ значение выражения равно $-5,2$; при $y=2,5$ значение выражения равно $6,5$.