Номер 787, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.7. Деление с остатком. Глава 7. Многочлены - номер 787, страница 219.

787 Докажите, что если числа $a$ и $b$ не делятся на $3$, то либо их сумма, либо их разность делится на $3$.

Поскольку по условию числа $a$ и $b$ не делятся на 3, то их остаток от деления на 3 не может быть равен 0. Любое целое число при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2. Следовательно, остатки от деления чисел $a$ и $b$ на 3 могут быть только 1 или 2.

Это значит, что число $a$ можно представить в виде $a = 3k + r_a$, а число $b$ — в виде $b = 3m + r_b$, где $k$ и $m$ — некоторые целые числа, а остатки $r_a$ и $r_b$ могут принимать значения из множества $\{1, 2\}$.

Рассмотрим два возможных случая, которые охватывают все варианты.

Случай 1: Остатки чисел $a$ и $b$ при делении на 3 одинаковы.
В этом случае $r_a = r_b$. Это означает, что либо оба числа дают остаток 1, либо оба дают остаток 2. Рассмотрим их разность $a - b$:
$a - b = (3k + r_a) - (3m + r_b) = 3k - 3m + r_a - r_b$
Поскольку $r_a = r_b$, то $r_a - r_b = 0$. Тогда:
$a - b = 3k - 3m = 3(k - m)$
Полученное выражение $3(k - m)$ очевидно делится на 3. Таким образом, если остатки одинаковы, разность чисел делится на 3.

Случай 2: Остатки чисел $a$ и $b$ при делении на 3 различны.
Поскольку возможные остатки — это только 1 и 2, то в этом случае одно из чисел имеет остаток 1, а другое — 2. То есть, $\{r_a, r_b\} = \{1, 2\}$. Рассмотрим их сумму $a + b$:
$a + b = (3k + r_a) + (3m + r_b) = 3k + 3m + r_a + r_b$
Сумма остатков $r_a + r_b$ будет равна $1 + 2 = 3$. Тогда:
$a + b = 3k + 3m + 3 = 3(k + m + 1)$
Полученное выражение $3(k + m + 1)$ очевидно делится на 3. Таким образом, если остатки различны, сумма чисел делится на 3.

Мы рассмотрели все возможные варианты для чисел $a$ и $b$, не делящихся на 3. В любом случае либо их разность, либо их сумма делится на 3. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если числа $a$ и $b$ не делятся на 3, то либо их сумма $(a+b)$, либо их разность $(a-b)$ делится на 3.