Номер 784, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.7. Деление с остатком. Глава 7. Многочлены - номер 784, страница 219.

784 a) Числа $a$ и $b$ при делении на 7 дают в остатке соответственно 3 и 4. Докажите, что $a+b$ делится на 7.

б) Числа $a$ и $b$ при делении на 6 дают в остатке соответственно 1 и 3. Докажите, что их сумма есть число чётное.

а)

По условию, число $a$ при делении на 7 дает в остатке 3. Это можно записать в виде формулы: $a = 7k + 3$, где $k$ — некоторое целое число (неполное частное).

Аналогично, число $b$ при делении на 7 дает в остатке 4. Это можно записать как: $b = 7m + 4$, где $m$ — некоторое целое число.

Найдем сумму этих чисел $a + b$: $a + b = (7k + 3) + (7m + 4)$

Сгруппируем слагаемые: $a + b = (7k + 7m) + (3 + 4)$ $a + b = 7k + 7m + 7$

Вынесем общий множитель 7 за скобки: $a + b = 7(k + m + 1)$

Так как $k$ и $m$ — целые числа, то их сумма $k + m$, а также выражение $k + m + 1$ тоже являются целыми числами. Пусть $N = k + m + 1$, где $N$ — целое число. Тогда $a + b = 7N$.

Это означает, что сумма $a + b$ является произведением числа 7 и некоторого целого числа $N$, следовательно, $a + b$ делится на 7 без остатка. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма $a + b$ делится на 7, так как она представима в виде $7(k + m + 1)$, где $k$ и $m$ — целые числа.

б)

По условию, число $a$ при делении на 6 дает в остатке 1. Запишем это в виде: $a = 6k + 1$, где $k$ — некоторое целое число.

Число $b$ при делении на 6 дает в остатке 3. Запишем это как: $b = 6m + 3$, где $m$ — некоторое целое число.

Найдем сумму этих чисел $a + b$: $a + b = (6k + 1) + (6m + 3)$

Сгруппируем слагаемые: $a + b = (6k + 6m) + (1 + 3)$ $a + b = 6k + 6m + 4$

Чтобы доказать, что число является четным, нужно показать, что оно делится на 2. Для этого вынесем множитель 2 за скобки: $a + b = 2(3k + 3m + 2)$

Так как $k$ и $m$ — целые числа, то выражение в скобках $3k + 3m + 2$ также является целым числом. Обозначим его как $P = 3k + 3m + 2$. Тогда $a + b = 2P$.

Любое число, которое можно представить в виде произведения 2 и целого числа, является четным. Следовательно, сумма $a + b$ есть число четное. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма $a + b$ является четным числом, так как она равна $2(3k + 3m + 2)$, то есть делится на 2.