Номер 778, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.6. Решение задач с помощью уравнений. Глава 7. Многочлены - номер 778, страница 217.

778 У Наташи есть аквариум с прямоугольным дном, одна сторона которого на 16 см больше другой. Она заменила его большим аквариумом, длина и ширина дна которого на 4 см больше. Она заметила, что если заполнить этот аквариум водой на высоту 30 см, то потребуется на 6 л больше воды, чем требовалось для старого аквариума при заполнении его на такую же высоту. Найдите размеры дна нового аквариума.

Для решения задачи введем переменные. Пусть ширина дна старого аквариума равна $x$ см. Поскольку одна сторона на 16 см больше другой, то длина дна старого аквариума равна $(x + 16)$ см.

Длина и ширина дна нового аквариума на 4 см больше соответствующих размеров старого. Таким образом, размеры дна нового аквариума:

• Ширина: $(x + 4)$ см
• Длина: $(x + 16) + 4 = (x + 20)$ см

Объем воды в аквариуме вычисляется по формуле $V = S_{дна} \cdot h$, где $h$ — высота уровня воды. По условию, в обоих случаях высота составляет $h = 30$ см.

Объем воды в старом аквариуме:
$V_{старый} = x \cdot (x + 16) \cdot 30$ см³.

Объем воды в новом аквариуме:
$V_{новый} = (x + 4) \cdot (x + 20) \cdot 30$ см³.

Разница в объеме составляет 6 литров. Необходимо перевести литры в кубические сантиметры, зная, что 1 л = 1000 см³.
$6 \text{ л} = 6000 \text{ см}^3$.

Составим уравнение, исходя из того, что объем воды в новом аквариуме на 6000 см³ больше, чем в старом:
$V_{новый} - V_{старый} = 6000$
$(x + 4)(x + 20) \cdot 30 - x(x + 16) \cdot 30 = 6000$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 30:
$(x + 4)(x + 20) - x(x + 16) = \frac{6000}{30}$
$(x + 4)(x + 20) - x(x + 16) = 200$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$(x^2 + 20x + 4x + 80) - (x^2 + 16x) = 200$
$x^2 + 24x + 80 - x^2 - 16x = 200$
$(x^2 - x^2) + (24x - 16x) + 80 = 200$
$8x + 80 = 200$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:
$8x = 200 - 80$
$8x = 120$
$x = \frac{120}{8}$
$x = 15$

Таким образом, ширина старого аквариума равна 15 см. Нам нужно найти размеры дна нового аквариума.
Ширина нового аквариума: $x + 4 = 15 + 4 = 19$ см.
Длина нового аквариума: $x + 20 = 15 + 20 = 35$ см.

Ответ: размеры дна нового аквариума — 19 см и 35 см.