Номер 774, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.6. Решение задач с помощью уравнений. Глава 7. Многочлены - номер 774, страница 216.

774 Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 4 км, одновременно выходит пешеход и выезжает велосипедист. Велосипедист доезжает до пункта В, сразу поворачивает обратно и встречает пешехода через 24 мин после своего выезда из пункта А. Определите скорости пешехода и велосипедиста, если известно, что велосипедист проезжает в час на 10 км больше, чем проходит пешеход.

Пусть $v_п$ — скорость пешехода в км/ч, а $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч. Расстояние между пунктами A и B составляет $S = 4$ км.

По условию задачи, скорость велосипедиста на 10 км/ч больше скорости пешехода. Это можно записать в виде уравнения: $v_в = v_п + 10$

Пешеход и велосипедист движутся одновременно. Они встречаются через 24 минуты после начала движения. Переведем время в часы, чтобы единицы измерения были согласованы: $t = 24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = \frac{2}{5} \text{ ч}$

К моменту встречи пешеход пройдет расстояние $S_п = v_п \cdot t$. Велосипедист за это же время доедет до пункта B, проехав 4 км, развернется и поедет обратно до места встречи. Расстояние, которое он проедет, равно $S_в = v_в \cdot t$.

Ключевым моментом для решения является рассмотрение суммарного расстояния, которое они преодолели. Пешеход движется от A к B. Велосипедист едет от A к B, а затем обратно к месту встречи. Если сложить путь пешехода и путь велосипедиста, то вместе они покроют расстояние, равное удвоенной дистанции между A и B.

Представим это так: путь пешехода (от A до места встречи) плюс путь велосипедиста на обратном участке (от B до места встречи) в сумме дают ровно 4 км. А велосипедист до этого уже проехал 4 км от A до B. Таким образом, общее расстояние, пройденное обоими, равно $4 + 4 = 8$ км. $S_п + S_в = 2S$

Подставим формулы для расстояний: $v_п \cdot t + v_в \cdot t = 2S$ $(v_п + v_в) \cdot t = 2S$

Теперь подставим известные значения $t = \frac{2}{5}$ ч и $S = 4$ км: $(v_п + v_в) \cdot \frac{2}{5} = 2 \cdot 4$ $(v_п + v_в) \cdot \frac{2}{5} = 8$

Выразим сумму скоростей: $v_п + v_в = 8 \cdot \frac{5}{2}$ $v_п + v_в = 20$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $\begin{cases} v_в = v_п + 10 \\ v_п + v_в = 20 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе: $v_п + (v_п + 10) = 20$ $2v_п + 10 = 20$ $2v_п = 20 - 10$ $2v_п = 10$ $v_п = 5$ км/ч

Мы нашли скорость пешехода. Теперь найдем скорость велосипедиста, используя первое уравнение системы: $v_в = v_п + 10 = 5 + 10 = 15$ км/ч

Таким образом, скорость пешехода составляет 5 км/ч, а скорость велосипедиста — 15 км/ч.

Ответ: Скорость пешехода 5 км/ч, скорость велосипедиста 15 км/ч.