Номер 772, страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.6. Решение задач с помощью уравнений. Глава 7. Многочлены - номер 772, страница 216.

772 Если автомобиль будет ехать со скоростью 60 км/ч, он при-едет из пункта А в пункт В в назначенное время. Проехав полпути со скоростью 60 км/ч, автомобиль увеличил скорость на 20 км/ч и приехал в пункт В на четверть часа раньше назначенного времени. Определите, за какое время автомобиль должен был доехать от пункта А до пункта В.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $S$ – это расстояние от пункта А до пункта В в километрах, а $T$ – это назначенное (плановое) время в пути в часах.

1. Описание плановой поездки.
Согласно условию, если автомобиль едет со скоростью $v_1 = 60$ км/ч, он прибывает в пункт В за назначенное время $T$. Следовательно, расстояние можно выразить через время: $S = v_1 \cdot T = 60T$

2. Описание фактической поездки.
Фактическая поездка состоит из двух частей.

Первая половина пути:
Расстояние: $S/2$.
Скорость: $v_{факт1} = 60$ км/ч.
Время, затраченное на первую половину пути: $t_1 = \frac{S/2}{v_{факт1}} = \frac{S/2}{60} = \frac{S}{120}$.

Вторая половина пути:
Расстояние: $S/2$.
Скорость была увеличена на 20 км/ч, значит: $v_{факт2} = 60 + 20 = 80$ км/ч.
Время, затраченное на вторую половину пути: $t_2 = \frac{S/2}{v_{факт2}} = \frac{S/2}{80} = \frac{S}{160}$.

3. Составление и решение уравнения.
Общее время фактической поездки составляет $t_1 + t_2$. По условию, автомобиль приехал на четверть часа раньше назначенного времени. Четверть часа – это $1/4$ часа или 15 минут. Значит, фактическое время равно плановому времени минус $1/4$ часа: $t_1 + t_2 = T - \frac{1}{4}$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$: $\frac{S}{120} + \frac{S}{160} = T - \frac{1}{4}$

Теперь заменим расстояние $S$ выражением $60T$ из первого пункта, чтобы в уравнении осталась только одна неизвестная $T$: $\frac{60T}{120} + \frac{60T}{160} = T - \frac{1}{4}$

Упростим дроби: $\frac{T}{2} + \frac{6T}{16} = T - \frac{1}{4}$
$\frac{T}{2} + \frac{3T}{8} = T - \frac{1}{4}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю (8): $\frac{4T}{8} + \frac{3T}{8} = T - \frac{1}{4}$
$\frac{7T}{8} = T - \frac{1}{4}$

Перенесем слагаемые с $T$ в одну сторону, а числовые значения – в другую: $T - \frac{7T}{8} = \frac{1}{4}$
$\frac{8T}{8} - \frac{7T}{8} = \frac{1}{4}$
$\frac{T}{8} = \frac{1}{4}$

Найдем $T$: $T = 8 \cdot \frac{1}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Таким образом, назначенное время, за которое автомобиль должен был доехать от А до В, составляет 2 часа.

Проверка:
Плановое время $T = 2$ ч. Расстояние $S = 60 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 120$ км.
Время на первую половину пути (60 км) со скоростью 60 км/ч: $t_1 = 60/60 = 1$ час.
Время на вторую половину пути (60 км) со скоростью 80 км/ч: $t_2 = 60/80 = 3/4$ часа.
Общее фактическое время: $1 + 3/4 = 1.75$ часа.
Плановое время: 2 часа.
Выигрыш во времени: $2 - 1.75 = 0.25$ часа, что равно $1/4$ часа (четверть часа). Решение верное.

Ответ: Автомобиль должен был доехать от пункта А до пункта В за 2 часа.