Страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Решите задачу (768–780).

Расстояние между городами $A$ и $B$ равно 244 км. Из $A$ в $B$ выехал автобус, а через 36 мин ему навстречу из $B$ в $A$ выехал автомобиль со скоростью, большей скорости автобуса на $30 \text{ км/ч}$. Через 2 ч после своего выезда автомобиль встретил автобус. Найдите скорость автомобиля.

768 Пусть $x$ км/ч — скорость автомобиля. Поскольку скорость автомобиля на 30 км/ч больше скорости автобуса, то скорость автобуса составляет $(x - 30)$ км/ч.

Автомобиль выехал из пункта В навстречу автобусу через 36 минут после выезда автобуса из пункта А. Переведем минуты в часы: $36 \text{ мин} = \frac{36}{60} \text{ ч} = 0,6$ ч.

Автомобиль встретил автобус через 2 часа после своего выезда. За это время он проехал расстояние, равное: $S_{автомобиля} = 2 \cdot x$ км.

К моменту встречи автобус находился в пути на 0,6 часа дольше, чем автомобиль, то есть $2 + 0,6 = 2,6$ часа. Расстояние, которое проехал автобус, равно: $S_{автобуса} = 2,6 \cdot (x - 30)$ км.

Так как они двигались навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 244 км, то сумма расстояний, пройденных ими до встречи, равна общему расстоянию. Составим и решим уравнение:

$S_{автомобиля} + S_{автобуса} = 244$

$2x + 2,6(x - 30) = 244$

Раскроем скобки:

$2x + 2,6x - 78 = 244$

Приведем подобные слагаемые:

$4,6x = 244 + 78$

$4,6x = 322$

Найдем $x$:

$x = \frac{322}{4,6} = \frac{3220}{46} = 70$

Следовательно, скорость автомобиля равна 70 км/ч.

Ответ: 70 км/ч.

769 Расстояние между городами А и В равно 240 км. Из города А в город В выехал автомобиль со скоростью 60 км/ч, а через 30 мин навстречу ему из города В выехал мотоциклист со скоростью, меньшей скорости автомобиля на 20 км/ч. Через какое время после выезда мотоциклиста автомобиль и мотоцикл будут на расстоянии 20 км друг от друга?

Подсказка. Обратите внимание на то, что надо рассмотреть два случая.

Для решения задачи сначала определим все исходные данные и затем рассмотрим два возможных случая, как указано в подсказке.

1. Начальные вычисления:

• Скорость автомобиля: $v_а = 60$ км/ч.
• Скорость мотоциклиста: $v_м = v_а - 20 = 60 - 20 = 40$ км/ч.
• Автомобиль выехал на 30 минут раньше мотоциклиста. Переведем 30 минут в часы: $30 \text{ мин} = 0,5$ часа.
• За это время автомобиль проехал: $S_1 = v_а \times 0,5 \text{ ч} = 60 \text{ км/ч} \times 0,5 \text{ ч} = 30$ км.
• Когда мотоциклист выехал из города В, расстояние между ним и автомобилем было уже не 240 км, а $S_2 = 240 \text{ км} - 30 \text{ км} = 210$ км.
• Скорость сближения автомобиля и мотоциклиста равна сумме их скоростей, так как они движутся навстречу друг другу: $v_{сбл} = v_а + v_м = 60 + 40 = 100$ км/ч.

Теперь рассмотрим два случая, когда расстояние между ними будет 20 км. Вопрос задачи: "Через какое время после выезда мотоциклиста...". Поэтому мы будем искать время $t$, отсчитывая его с момента старта мотоциклиста.

Случай 1: Автомобиль и мотоцикл еще не встретились

В этом случае они будут на расстоянии 20 км друг от друга до момента их встречи. Это значит, что вместе они должны проехать расстояние, равное начальному расстоянию между ними (210 км) минус 20 км.

Суммарное расстояние, которое они должны проехать: $S_{общ1} = 210 \text{ км} - 20 \text{ км} = 190$ км.

Время, за которое они вместе проедут это расстояние, находим по формуле $t = S/v$:

$t_1 = \frac{S_{общ1}}{v_{сбл}} = \frac{190 \text{ км}}{100 \text{ км/ч}} = 1,9$ часа.

Чтобы перевести это в часы и минуты: $1,9 \text{ ч} = 1 \text{ час и } 0,9 \times 60 \text{ мин} = 1 \text{ час } 54 \text{ минуты}$.

Ответ: 1,9 часа.

Случай 2: Автомобиль и мотоцикл встретились и разъехались

В этом случае они сначала проедут 210 км до встречи, а затем еще 20 км, удаляясь друг от друга. Общее расстояние, которое они проедут вместе с момента выезда мотоциклиста, составит:

$S_{общ2} = 210 \text{ км} + 20 \text{ км} = 230$ км.

Скорость, с которой они удаляются друг от друга после встречи, также равна их скорости сближения: $v_{уд} = v_а + v_м = 100$ км/ч.

Время, за которое они вместе проедут это расстояние:

$t_2 = \frac{S_{общ2}}{v_{уд}} = \frac{230 \text{ км}}{100 \text{ км/ч}} = 2,3$ часа.

Чтобы перевести это в часы и минуты: $2,3 \text{ ч} = 2 \text{ часа и } 0,3 \times 60 \text{ мин} = 2 \text{ часа } 18 \text{ минут}$.

Ответ: 2,3 часа.

770 От автовокзала по шоссе выехал автобус со скоростью $45 \text{ км/ч}$. Через $20 \text{ мин}$ вслед за ним выехал автомобиль со скоростью $60 \text{ км/ч}$. Через какое время после выезда автомобиля расстояние между ними будет равно $10 \text{ км}$?

Для решения задачи сначала определим, какое расстояние проехал автобус за те 20 минут, которые он двигался до выезда автомобиля. Переведем 20 минут в часы, так как скорости даны в км/ч:

$20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.

Расстояние, которое проехал автобус за это время, равно:

$S_{авт} = v_{авт} \times t = 45 \text{ км/ч} \times \frac{1}{3} \text{ ч} = 15 \text{ км}$.

Итак, в момент выезда автомобиля автобус был впереди него на 15 км. Это начальное расстояние между ними.

Скорость, с которой автомобиль догоняет автобус (скорость сближения), равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_{авто} - v_{авт} = 60 \text{ км/ч} - 45 \text{ км/ч} = 15 \text{ км/ч}$.

Расстояние между ними станет равным 10 км в двух возможных случаях.

1. Первый случай: автомобиль догоняет автобус, но еще не догнал его.

Изначально расстояние между ними 15 км. Чтобы оно стало 10 км, автомобилю нужно сократить разрыв на $15 - 10 = 5$ км. Найдем время $t_1$, которое для этого потребуется:

$t_1 = \frac{\Delta S}{v_{сбл}} = \frac{5 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = \frac{1}{3} \text{ часа}$.

Переведем это время в минуты: $t_1 = \frac{1}{3} \times 60 = 20 \text{ минут}$.

2. Второй случай: автомобиль догнал автобус и обогнал его на 10 км.

Сначала автомобилю нужно полностью сократить начальное расстояние в 15 км, чтобы догнать автобус. Время, чтобы догнать: $t_{догнать} = \frac{15 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = 1 \text{ час}$.

После этого автомобилю нужно оторваться от автобуса на 10 км. Скорость, с которой он удаляется, та же — 15 км/ч. Время, чтобы оторваться на 10 км: $t_{оторваться} = \frac{10 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = \frac{2}{3} \text{ часа}$.

Общее время $t_2$ с момента выезда автомобиля составит сумму этих двух временных отрезков:

$t_2 = t_{догнать} + t_{оторваться} = 1 \text{ час} + \frac{2}{3} \text{ часа} = 1\frac{2}{3} \text{ часа}$.

Переведем это время в минуты: $t_2 = \frac{5}{3} \times 60 = 100 \text{ минут}$, что равно 1 часу 40 минутам.

Таким образом, задача имеет два правильных ответа.

Ответ: через 20 минут или через 1 час 40 минут после выезда автомобиля.

771 Мотоцикл, движущийся по шоссе со скоростью $40 \text{ км/ч}$, миновал бензоколонку. Через час мимо той же бензоколонки проехал автомобиль со скоростью $90 \text{ км/ч}$. На каком расстоянии от бензоколонки автомобиль догнал мотоциклиста?

Для решения этой задачи можно использовать два основных подхода: через составление уравнений движения или через понятие скорости сближения. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Составление уравнений движения

Пусть $S$ — искомое расстояние от бензоколонки, $t_м$ — время движения мотоцикла до места встречи, а $t_а$ — время движения автомобиля. Бензоколонку примем за точку отсчета ($0$ км).

Скорость мотоцикла $v_м = 40$ км/ч. Расстояние, которое он проедет, равно:

$S = v_м \cdot t_м = 40t_м$

Скорость автомобиля $v_а = 90$ км/ч. Расстояние, которое он проедет, равно:

$S = v_а \cdot t_а = 90t_а$

Так как они встретятся на одном и том же расстоянии $S$ от бензоколонки, мы можем приравнять правые части уравнений:

$40t_м = 90t_а$

По условию, автомобиль выехал на 1 час позже мотоциклиста. Это значит, что время движения мотоцикла было на 1 час больше, чем время движения автомобиля:

$t_м = t_а + 1$

Подставим это выражение для $t_м$ в наше равенство:

$40(t_а + 1) = 90t_а$

Теперь решим полученное уравнение относительно $t_а$:

$40t_а + 40 = 90t_а$

$90t_а - 40t_а = 40$

$50t_а = 40$

$t_а = \frac{40}{50} = \frac{4}{5} = 0.8$ часа.

Это время, которое ехал автомобиль до встречи с мотоциклистом. Чтобы найти расстояние от бензоколонки, подставим это время в формулу пути для автомобиля:

$S = 90 \cdot t_а = 90 \cdot 0.8 = 72$ км.

Способ 2: Через скорость сближения

Когда автомобиль выехал от бензоколонки, мотоциклист уже был в пути 1 час и успел отъехать на некоторое расстояние. Найдем это расстояние (фору):

$S_{форы} = v_м \cdot 1\text{ч} = 40 \text{ км/ч} \cdot 1\text{ч} = 40$ км.

Автомобиль догоняет мотоциклиста. Скорость их сближения равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_а - v_м = 90 \text{ км/ч} - 40 \text{ км/ч} = 50$ км/ч.

Теперь найдем время, за которое автомобиль преодолеет начальное расстояние в 40 км со скоростью сближения 50 км/ч:

$t = \frac{S_{форы}}{v_{сбл}} = \frac{40 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = 0.8$ часа.

Это время, которое потребуется автомобилю, чтобы догнать мотоциклиста. За это время автомобиль проедет от бензоколонки расстояние:

$S = v_а \cdot t = 90 \text{ км/ч} \cdot 0.8 \text{ ч} = 72$ км.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: автомобиль догнал мотоциклиста на расстоянии 72 км от бензоколонки.

772 Если автомобиль будет ехать со скоростью 60 км/ч, он при-едет из пункта А в пункт В в назначенное время. Проехав полпути со скоростью 60 км/ч, автомобиль увеличил скорость на 20 км/ч и приехал в пункт В на четверть часа раньше назначенного времени. Определите, за какое время автомобиль должен был доехать от пункта А до пункта В.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $S$ – это расстояние от пункта А до пункта В в километрах, а $T$ – это назначенное (плановое) время в пути в часах.

1. Описание плановой поездки.
Согласно условию, если автомобиль едет со скоростью $v_1 = 60$ км/ч, он прибывает в пункт В за назначенное время $T$. Следовательно, расстояние можно выразить через время: $S = v_1 \cdot T = 60T$

2. Описание фактической поездки.
Фактическая поездка состоит из двух частей.

Первая половина пути:
Расстояние: $S/2$.
Скорость: $v_{факт1} = 60$ км/ч.
Время, затраченное на первую половину пути: $t_1 = \frac{S/2}{v_{факт1}} = \frac{S/2}{60} = \frac{S}{120}$.

Вторая половина пути:
Расстояние: $S/2$.
Скорость была увеличена на 20 км/ч, значит: $v_{факт2} = 60 + 20 = 80$ км/ч.
Время, затраченное на вторую половину пути: $t_2 = \frac{S/2}{v_{факт2}} = \frac{S/2}{80} = \frac{S}{160}$.

3. Составление и решение уравнения.
Общее время фактической поездки составляет $t_1 + t_2$. По условию, автомобиль приехал на четверть часа раньше назначенного времени. Четверть часа – это $1/4$ часа или 15 минут. Значит, фактическое время равно плановому времени минус $1/4$ часа: $t_1 + t_2 = T - \frac{1}{4}$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$: $\frac{S}{120} + \frac{S}{160} = T - \frac{1}{4}$

Теперь заменим расстояние $S$ выражением $60T$ из первого пункта, чтобы в уравнении осталась только одна неизвестная $T$: $\frac{60T}{120} + \frac{60T}{160} = T - \frac{1}{4}$

Упростим дроби: $\frac{T}{2} + \frac{6T}{16} = T - \frac{1}{4}$
$\frac{T}{2} + \frac{3T}{8} = T - \frac{1}{4}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю (8): $\frac{4T}{8} + \frac{3T}{8} = T - \frac{1}{4}$
$\frac{7T}{8} = T - \frac{1}{4}$

Перенесем слагаемые с $T$ в одну сторону, а числовые значения – в другую: $T - \frac{7T}{8} = \frac{1}{4}$
$\frac{8T}{8} - \frac{7T}{8} = \frac{1}{4}$
$\frac{T}{8} = \frac{1}{4}$

Найдем $T$: $T = 8 \cdot \frac{1}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Таким образом, назначенное время, за которое автомобиль должен был доехать от А до В, составляет 2 часа.

Проверка:
Плановое время $T = 2$ ч. Расстояние $S = 60 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 120$ км.
Время на первую половину пути (60 км) со скоростью 60 км/ч: $t_1 = 60/60 = 1$ час.
Время на вторую половину пути (60 км) со скоростью 80 км/ч: $t_2 = 60/80 = 3/4$ часа.
Общее фактическое время: $1 + 3/4 = 1.75$ часа.
Плановое время: 2 часа.
Выигрыш во времени: $2 - 1.75 = 0.25$ часа, что равно $1/4$ часа (четверть часа). Решение верное.

Ответ: Автомобиль должен был доехать от пункта А до пункта В за 2 часа.

773 Автобус обычно проходит свой маршрут от начальной до конечной остановки за 54 мин. Однако во время часа пик его скорость была на 10 км/ч меньше, и через 45 мин ему ещё оставалось проехать 12 км. Чему равна обычная скорость автобуса?

Для решения задачи составим уравнение, в котором за неизвестное $v$ примем обычную скорость автобуса.

1. Введение переменных и перевод единиц
Пусть $v$ (км/ч) — это обычная скорость автобуса.
Тогда скорость автобуса во время часа пик равна $(v - 10)$ км/ч.
Переведем время из минут в часы, так как скорость дана в км/ч:

• Обычное время в пути: $t_{обычное} = 54 \text{ мин} = \frac{54}{60} \text{ ч} = 0,9 \text{ ч}$
• Время в пути в час пик: $t_{пик} = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = 0,75 \text{ ч}$

2. Составление уравнения
Длина всего маршрута, обозначим ее $S$, постоянна.

С одной стороны, длину маршрута можно выразить через обычную скорость и обычное время:
$S = v \cdot t_{обычное} = v \cdot 0,9$

С другой стороны, длину маршрута можно выразить через условия поездки в час пик. За 45 минут (0,75 ч) автобус проехал расстояние, равное:
$S_{проехал} = (v - 10) \cdot t_{пик} = (v - 10) \cdot 0,75$
После этого ему осталось проехать еще 12 км. Следовательно, вся длина маршрута равна сумме пройденного пути и оставшегося:
$S = (v - 10) \cdot 0,75 + 12$

Так как длина маршрута $S$ в обоих случаях одинакова, мы можем приравнять два полученных выражения:
$0,9v = 0,75(v - 10) + 12$

3. Решение уравнения
Теперь решим полученное уравнение относительно $v$:

$0,9v = 0,75v - 0,75 \cdot 10 + 12$
$0,9v = 0,75v - 7,5 + 12$
$0,9v = 0,75v + 4,5$
$0,9v - 0,75v = 4,5$
$0,15v = 4,5$
$v = \frac{4,5}{0,15}$
$v = \frac{450}{15}$
$v = 30$

Таким образом, мы нашли, что обычная скорость автобуса составляет 30 км/ч.

Проверка:
Обычная скорость 30 км/ч. Длина маршрута: $S = 30 \text{ км/ч} \cdot 0,9 \text{ ч} = 27 \text{ км}$.
Скорость в час пик: $30 - 10 = 20 \text{ км/ч}$.
За 45 минут (0,75 ч) в час пик автобус проехал: $20 \text{ км/ч} \cdot 0,75 \text{ ч} = 15 \text{ км}$.
Оставшееся расстояние: $27 \text{ км} - 15 \text{ км} = 12 \text{ км}$. Это соответствует условию задачи.

Ответ: обычная скорость автобуса равна 30 км/ч.

774 Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 4 км, одновременно выходит пешеход и выезжает велосипедист. Велосипедист доезжает до пункта В, сразу поворачивает обратно и встречает пешехода через 24 мин после своего выезда из пункта А. Определите скорости пешехода и велосипедиста, если известно, что велосипедист проезжает в час на 10 км больше, чем проходит пешеход.

Пусть $v_п$ — скорость пешехода в км/ч, а $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч. Расстояние между пунктами A и B составляет $S = 4$ км.

По условию задачи, скорость велосипедиста на 10 км/ч больше скорости пешехода. Это можно записать в виде уравнения: $v_в = v_п + 10$

Пешеход и велосипедист движутся одновременно. Они встречаются через 24 минуты после начала движения. Переведем время в часы, чтобы единицы измерения были согласованы: $t = 24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = \frac{2}{5} \text{ ч}$

К моменту встречи пешеход пройдет расстояние $S_п = v_п \cdot t$. Велосипедист за это же время доедет до пункта B, проехав 4 км, развернется и поедет обратно до места встречи. Расстояние, которое он проедет, равно $S_в = v_в \cdot t$.

Ключевым моментом для решения является рассмотрение суммарного расстояния, которое они преодолели. Пешеход движется от A к B. Велосипедист едет от A к B, а затем обратно к месту встречи. Если сложить путь пешехода и путь велосипедиста, то вместе они покроют расстояние, равное удвоенной дистанции между A и B.

Представим это так: путь пешехода (от A до места встречи) плюс путь велосипедиста на обратном участке (от B до места встречи) в сумме дают ровно 4 км. А велосипедист до этого уже проехал 4 км от A до B. Таким образом, общее расстояние, пройденное обоими, равно $4 + 4 = 8$ км. $S_п + S_в = 2S$

Подставим формулы для расстояний: $v_п \cdot t + v_в \cdot t = 2S$ $(v_п + v_в) \cdot t = 2S$

Теперь подставим известные значения $t = \frac{2}{5}$ ч и $S = 4$ км: $(v_п + v_в) \cdot \frac{2}{5} = 2 \cdot 4$ $(v_п + v_в) \cdot \frac{2}{5} = 8$

Выразим сумму скоростей: $v_п + v_в = 8 \cdot \frac{5}{2}$ $v_п + v_в = 20$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $\begin{cases} v_в = v_п + 10 \\ v_п + v_в = 20 \end{cases}$

Подставим первое уравнение во второе: $v_п + (v_п + 10) = 20$ $2v_п + 10 = 20$ $2v_п = 20 - 10$ $2v_п = 10$ $v_п = 5$ км/ч

Мы нашли скорость пешехода. Теперь найдем скорость велосипедиста, используя первое уравнение системы: $v_в = v_п + 10 = 5 + 10 = 15$ км/ч

Таким образом, скорость пешехода составляет 5 км/ч, а скорость велосипедиста — 15 км/ч.

Ответ: Скорость пешехода 5 км/ч, скорость велосипедиста 15 км/ч.