Страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

782 Докажите, что:

а) сумма чётного и нечётного чисел есть число нечётное;

б) сумма двух нечётных чисел есть число чётное;

в) сумма двух последовательных натуральных чисел есть число нечётное;

г) произведение двух последовательных натуральных чисел есть число чётное.

а) Пусть чётное число равно $a$, а нечётное число равно $b$.
Любое чётное число можно представить в виде $a = 2k$, где $k$ - целое число.
Любое нечётное число можно представить в виде $b = 2m + 1$, где $m$ - целое число.
Найдем их сумму:
$a + b = 2k + (2m + 1) = 2k + 2m + 1$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$a + b = 2(k + m) + 1$
Так как $k$ и $m$ - целые числа, то их сумма $(k+m)$ также является целым числом. Обозначим $p = k + m$.
Тогда сумма имеет вид $2p + 1$, что по определению является формулой нечётного числа.
Ответ: Сумма чётного и нечётного чисел является нечётным числом, что и требовалось доказать.

б) Пусть у нас есть два нечётных числа: $a = 2k + 1$ и $b = 2m + 1$, где $k$ и $m$ - целые числа.
Найдем их сумму:
$a + b = (2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$a + b = 2(k + m + 1)$
Так как $k$ и $m$ - целые числа, то выражение в скобках $(k + m + 1)$ также является целым числом. Обозначим $p = k + m + 1$.
Тогда сумма имеет вид $2p$, что по определению является формулой чётного числа.
Ответ: Сумма двух нечётных чисел является чётным числом, что и требовалось доказать.

в) Пусть у нас есть два последовательных натуральных числа. Обозначим первое число как $n$, тогда следующее за ним будет $n + 1$.
Найдем их сумму:
$n + (n + 1) = 2n + 1$
Так как $n$ - натуральное (а значит, и целое) число, то выражение $2n + 1$ по определению является формулой нечётного числа.
Другой способ доказательства: из двух последовательных натуральных чисел одно всегда чётное, а другое - нечётное. Согласно доказанному в пункте «а», сумма чётного и нечётного чисел всегда является нечётным числом.
Ответ: Сумма двух последовательных натуральных чисел является нечётным числом, что и требовалось доказать.

г) Пусть у нас есть два последовательных натуральных числа: $n$ и $n + 1$.
Рассмотрим два возможных случая для числа $n$.
Случай 1: $n$ - чётное число.
Если $n$ чётное, его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ - натуральное число.
Тогда их произведение равно:
$n(n + 1) = 2k(2k + 1)$
Это число делится на 2, а значит, является чётным.
Случай 2: $n$ - нечётное число.
Если $n$ нечётное, то следующее за ним число $n + 1$ будет чётным.
Тогда $n + 1$ можно представить в виде $n + 1 = 2k$, где $k$ - натуральное число.
Их произведение равно:
$n(n + 1) = n \cdot 2k = 2nk$
Это число также делится на 2, а значит, является чётным.
Поскольку любое натуральное число является либо чётным, либо нечётным, мы рассмотрели все возможные случаи. В обоих случаях произведение является чётным.
Ответ: Произведение двух последовательных натуральных чисел является чётным числом, что и требовалось доказать.

783 Найдите остаток от деления на 10 суммы чисел $a$, $b$ и $c$, если известно, что:

а) при делении на 10 число $a$ даёт в остатке 1, число $b$ даёт в остатке 3 и число $c$ даёт в остатке 5;

б) при делении на 10 число $a$ даёт в остатке 3, число $b$ даёт в остатке 5 и число $c$ даёт в остатке 7.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством остатков в арифметике: остаток от деления суммы нескольких чисел на делитель равен остатку от деления суммы их остатков на тот же делитель.

То есть, чтобы найти остаток от деления суммы $a+b+c$ на 10, нам нужно:
1. Сложить остатки, которые дают числа $a, b, c$ при делении на 10.
2. Найти остаток от деления полученной суммы на 10.

а)

По условию, при делении на 10 число $a$ даёт в остатке 1, число $b$ даёт в остатке 3 и число $c$ даёт в остатке 5.

Сначала сложим остатки:
$1 + 3 + 5 = 9$.

Теперь найдем остаток от деления полученной суммы (9) на 10. Поскольку 9 меньше 10, то остаток от деления 9 на 10 равен 9.

Ответ: 9

б)

По условию, при делении на 10 число $a$ даёт в остатке 3, число $b$ даёт в остатке 5 и число $c$ даёт в остатке 7.

Сначала сложим остатки:
$3 + 5 + 7 = 15$.

Теперь найдем остаток от деления полученной суммы (15) на 10.
$15 = 10 \cdot 1 + 5$.
Остаток от деления 15 на 10 равен 5.

Ответ: 5

784 a) Числа $a$ и $b$ при делении на 7 дают в остатке соответственно 3 и 4. Докажите, что $a+b$ делится на 7.

б) Числа $a$ и $b$ при делении на 6 дают в остатке соответственно 1 и 3. Докажите, что их сумма есть число чётное.

а)

По условию, число $a$ при делении на 7 дает в остатке 3. Это можно записать в виде формулы: $a = 7k + 3$, где $k$ — некоторое целое число (неполное частное).

Аналогично, число $b$ при делении на 7 дает в остатке 4. Это можно записать как: $b = 7m + 4$, где $m$ — некоторое целое число.

Найдем сумму этих чисел $a + b$: $a + b = (7k + 3) + (7m + 4)$

Сгруппируем слагаемые: $a + b = (7k + 7m) + (3 + 4)$ $a + b = 7k + 7m + 7$

Вынесем общий множитель 7 за скобки: $a + b = 7(k + m + 1)$

Так как $k$ и $m$ — целые числа, то их сумма $k + m$, а также выражение $k + m + 1$ тоже являются целыми числами. Пусть $N = k + m + 1$, где $N$ — целое число. Тогда $a + b = 7N$.

Это означает, что сумма $a + b$ является произведением числа 7 и некоторого целого числа $N$, следовательно, $a + b$ делится на 7 без остатка. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма $a + b$ делится на 7, так как она представима в виде $7(k + m + 1)$, где $k$ и $m$ — целые числа.

б)

По условию, число $a$ при делении на 6 дает в остатке 1. Запишем это в виде: $a = 6k + 1$, где $k$ — некоторое целое число.

Число $b$ при делении на 6 дает в остатке 3. Запишем это как: $b = 6m + 3$, где $m$ — некоторое целое число.

Найдем сумму этих чисел $a + b$: $a + b = (6k + 1) + (6m + 3)$

Сгруппируем слагаемые: $a + b = (6k + 6m) + (1 + 3)$ $a + b = 6k + 6m + 4$

Чтобы доказать, что число является четным, нужно показать, что оно делится на 2. Для этого вынесем множитель 2 за скобки: $a + b = 2(3k + 3m + 2)$

Так как $k$ и $m$ — целые числа, то выражение в скобках $3k + 3m + 2$ также является целым числом. Обозначим его как $P = 3k + 3m + 2$. Тогда $a + b = 2P$.

Любое число, которое можно представить в виде произведения 2 и целого числа, является четным. Следовательно, сумма $a + b$ есть число четное. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма $a + b$ является четным числом, так как она равна $2(3k + 3m + 2)$, то есть делится на 2.

785 Докажите, что если числа $a$ и $b$ при делении на число $c$ дают один и тот же остаток, то их разность делится на $c$.

Пусть даны два целых числа $a$ и $b$, и натуральное число $c$. По условию, при делении числа $a$ на число $c$ и числа $b$ на число $c$ получается один и тот же остаток. Обозначим этот остаток буквой $r$.

Согласно определению деления с остатком, мы можем записать эти условия в виде следующих равенств:

$a = c \cdot q_1 + r$
Здесь $q_1$ — это неполное частное (целое число) от деления $a$ на $c$, а $r$ — остаток, причем $0 \le r < c$.

$b = c \cdot q_2 + r$
Здесь $q_2$ — это неполное частное (целое число) от деления $b$ на $c$, а остаток $r$ тот же самый, что и в первом случае.

Теперь найдем разность чисел $a$ и $b$, подставив вместо них записанные выше выражения:

$a - b = (c \cdot q_1 + r) - (c \cdot q_2 + r)$

Раскроем скобки:

$a - b = c \cdot q_1 + r - c \cdot q_2 - r$

Приведем подобные слагаемые. Остатки $r$ взаимно уничтожаются ($r - r = 0$):

$a - b = c \cdot q_1 - c \cdot q_2$

Вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$a - b = c \cdot (q_1 - q_2)$

Поскольку $q_1$ и $q_2$ являются целыми числами (как неполные частные), их разность $(q_1 - q_2)$ также является целым числом. Обозначим эту разность буквой $k$, где $k = q_1 - q_2$ и $k$ — целое число.

В результате мы получаем равенство:

$a - b = c \cdot k$

Это равенство по определению означает, что разность $(a - b)$ делится на число $c$ нацело (без остатка). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

786 Каждое из чисел $a$ и $b$ при делении на 3 даёт в остатке 1. Докажите, что их произведение при делении на 3 также даёт в остатке 1.

Согласно условию задачи, число a при делении на 3 даёт в остатке 1. Это можно записать в виде формулы деления с остатком:

$a = 3k + 1$

где k — некоторое целое число (неполное частное).

Аналогично, число b при делении на 3 также даёт в остатке 1, что можно записать как:

$b = 3m + 1$

где m — некоторое целое число.

Чтобы доказать утверждение, найдём произведение этих чисел ab, подставив вместо a и b их выражения:

$ab = (3k + 1)(3m + 1)$

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов:

$ab = 3k \cdot 3m + 3k \cdot 1 + 1 \cdot 3m + 1 \cdot 1$

$ab = 9km + 3k + 3m + 1$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых и вынесем общий множитель 3 за скобки:

$ab = 3(3km + k + m) + 1$

Поскольку k и m являются целыми числами, их произведение, сумма и результат умножения на целое число также будут целым числом. Обозначим всё выражение в скобках как новое целое число q:

$q = 3km + k + m$

Тогда произведение ab принимает вид:

$ab = 3q + 1$

Эта запись означает, что при делении произведения ab на 3 получается целое число q (неполное частное) и остаток, равный 1. Это и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

787 Докажите, что если числа $a$ и $b$ не делятся на $3$, то либо их сумма, либо их разность делится на $3$.

Поскольку по условию числа $a$ и $b$ не делятся на 3, то их остаток от деления на 3 не может быть равен 0. Любое целое число при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2. Следовательно, остатки от деления чисел $a$ и $b$ на 3 могут быть только 1 или 2.

Это значит, что число $a$ можно представить в виде $a = 3k + r_a$, а число $b$ — в виде $b = 3m + r_b$, где $k$ и $m$ — некоторые целые числа, а остатки $r_a$ и $r_b$ могут принимать значения из множества $\{1, 2\}$.

Рассмотрим два возможных случая, которые охватывают все варианты.

Случай 1: Остатки чисел $a$ и $b$ при делении на 3 одинаковы.
В этом случае $r_a = r_b$. Это означает, что либо оба числа дают остаток 1, либо оба дают остаток 2. Рассмотрим их разность $a - b$:
$a - b = (3k + r_a) - (3m + r_b) = 3k - 3m + r_a - r_b$
Поскольку $r_a = r_b$, то $r_a - r_b = 0$. Тогда:
$a - b = 3k - 3m = 3(k - m)$
Полученное выражение $3(k - m)$ очевидно делится на 3. Таким образом, если остатки одинаковы, разность чисел делится на 3.

Случай 2: Остатки чисел $a$ и $b$ при делении на 3 различны.
Поскольку возможные остатки — это только 1 и 2, то в этом случае одно из чисел имеет остаток 1, а другое — 2. То есть, $\{r_a, r_b\} = \{1, 2\}$. Рассмотрим их сумму $a + b$:
$a + b = (3k + r_a) + (3m + r_b) = 3k + 3m + r_a + r_b$
Сумма остатков $r_a + r_b$ будет равна $1 + 2 = 3$. Тогда:
$a + b = 3k + 3m + 3 = 3(k + m + 1)$
Полученное выражение $3(k + m + 1)$ очевидно делится на 3. Таким образом, если остатки различны, сумма чисел делится на 3.

Мы рассмотрели все возможные варианты для чисел $a$ и $b$, не делящихся на 3. В любом случае либо их разность, либо их сумма делится на 3. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если числа $a$ и $b$ не делятся на 3, то либо их сумма $(a+b)$, либо их разность $(a-b)$ делится на 3.

788 Какой вид имеют числа, о которых известно, что они не делятся ни на 2, ни на 3?

Чтобы найти общий вид чисел, которые не делятся ни на 2, ни на 3, мы можем проанализировать их остатки при делении на эти числа.

1. Если число не делится на 2, оно является нечетным.

2. Если число не делится на 3, то при делении на 3 оно дает остаток 1 или 2.

Для того чтобы объединить эти два условия, рассмотрим остатки от деления на наименьшее общее кратное чисел 2 и 3, которое равно $2 \times 3 = 6$. Любое целое число $n$ можно представить в одном из следующих шести видов, где $k$ — некоторое целое число:

- $n = 6k$: Это число делится и на 2, и на 3. Не подходит.

- $n = 6k + 1$: Это число нечетное (не делится на 2). При делении на 3 дает остаток 1 (не делится на 3). Подходит.

- $n = 6k + 2$: Это число четное, так как $n = 2(3k + 1)$, то есть делится на 2. Не подходит.

- $n = 6k + 3$: Это число делится на 3, так как $n = 3(2k + 1)$. Не подходит.

- $n = 6k + 4$: Это число четное, так как $n = 2(3k + 2)$, то есть делится на 2. Не подходит.

- $n = 6k + 5$: Это число нечетное (не делится на 2). При делении на 3 его можно представить как $n = 6k + 3 + 2 = 3(2k+1) + 2$, то есть оно дает остаток 2 (не делится на 3). Подходит.

Таким образом, мы видим, что условию задачи удовлетворяют только числа, которые при делении на 6 дают в остатке 1 или 5.

Ответ: Числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3, имеют вид $6k+1$ или $6k+5$, где $k$ — любое целое число.

789 a) Докажите, что если число не делится на 5, то на 5 делится его квадрат, увеличенный или уменьшенный на 1.

б) Докажите, что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1.

а)

Пусть $n$ — целое число, которое не делится на 5. Это означает, что при делении на 5 число $n$ может давать в остатке 1, 2, 3 или 4. Рассмотрим все четыре возможных случая.

1. Если $n$ при делении на 5 даёт остаток 1, то его можно представить в виде $n = 5k + 1$, где $k$ — целое число. Тогда его квадрат: $n^2 = (5k + 1)^2 = 25k^2 + 10k + 1 = 5(5k^2 + 2k) + 1$. Уменьшив квадрат на 1, получим: $n^2 - 1 = 5(5k^2 + 2k)$. Это число делится на 5.

2. Если $n$ при делении на 5 даёт остаток 2, то $n = 5k + 2$. Тогда его квадрат: $n^2 = (5k + 2)^2 = 25k^2 + 20k + 4 = 5(5k^2 + 4k) + 4$. Увеличив квадрат на 1, получим: $n^2 + 1 = 5(5k^2 + 4k) + 4 + 1 = 5(5k^2 + 4k + 1)$. Это число делится на 5.

3. Если $n$ при делении на 5 даёт остаток 3, то $n = 5k + 3$. Тогда его квадрат: $n^2 = (5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 5(5k^2 + 6k + 1) + 4$. Увеличив квадрат на 1, получим: $n^2 + 1 = 5(5k^2 + 6k + 1) + 5 = 5(5k^2 + 6k + 2)$. Это число делится на 5.

4. Если $n$ при делении на 5 даёт остаток 4, то $n = 5k + 4$. Тогда его квадрат: $n^2 = (5k + 4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 5(5k^2 + 8k + 3) + 1$. Уменьшив квадрат на 1, получим: $n^2 - 1 = 5(5k^2 + 8k + 3)$. Это число делится на 5.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи для числа, не делящегося на 5, и в каждом из них либо $n^2 - 1$, либо $n^2 + 1$ делится на 5. Утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Пусть $n$ — любое нечётное число. Любое нечётное число можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число.

Возведём это выражение в квадрат:

$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель 4:

$n^2 = (4k^2 + 4k) + 1 = 4k(k + 1) + 1$

Рассмотрим произведение $k(k + 1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. Из двух последовательных целых чисел одно всегда является чётным, поэтому их произведение $k(k + 1)$ всегда делится на 2. Следовательно, его можно представить в виде $k(k + 1) = 2m$, где $m$ — целое число.

Подставим это в выражение для $n^2$:

$n^2 = 4(2m) + 1 = 8m + 1$

Это равенство означает, что квадрат любого нечётного числа $n$ при делении на 8 даёт в остатке 1. Утверждение доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

790 Найдите все натуральные числа, которые:

a) при делении на 5 дают в остатке 4 ($N \equiv 4 \pmod{5}$), а при делении на 2 дают в остатке 1 ($N \equiv 1 \pmod{2}$);

б) при делении на 5 дают в остатке 3 ($N \equiv 3 \pmod{5}$) и делятся на 2 ($N \equiv 0 \pmod{2}$).

а) Пусть $n$ — искомое натуральное число. По условию, $n$ при делении на 5 дает в остатке 4, и при делении на 2 дает в остатке 1. Это можно записать в виде системы сравнений:

$n \equiv 4 \pmod{5}$
$n \equiv 1 \pmod{2}$

Из первого сравнения следует, что $n$ можно представить в виде $n = 5k + 4$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \dots$). Такие числа могут оканчиваться на цифру 4 (например, 4, 14, 24) или 9 (например, 9, 19, 29).

Из второго сравнения, $n \equiv 1 \pmod{2}$, следует, что число $n$ является нечетным. Среди чисел, оканчивающихся на 4 или 9, нечетными являются только те, что оканчиваются на 9.

Для более строгого решения подставим $n = 5k + 4$ во второе сравнение:

$5k + 4 \equiv 1 \pmod{2}$

Так как $5 \equiv 1 \pmod{2}$ и $4 \equiv 0 \pmod{2}$, получаем:

$k \cdot 1 + 0 \equiv 1 \pmod{2}$
$k \equiv 1 \pmod{2}$

Это означает, что $k$ должно быть нечетным числом. Представим $k$ в виде $k = 2m + 1$, где $m$ — любое целое неотрицательное число ($m=0, 1, 2, \dots$).

Теперь подставим это выражение для $k$ в формулу для $n$:

$n = 5(2m + 1) + 4 = 10m + 5 + 4 = 10m + 9$.

Эта формула описывает все натуральные числа, которые оканчиваются на 9.

Ответ: все натуральные числа, оканчивающиеся на 9. Их можно записать формулой $n = 10m + 9$, где $m$ — любое целое неотрицательное число.

б) Пусть $n$ — искомое натуральное число. По условию, $n$ при делении на 5 дает в остатке 3 и делится на 2. Запишем это в виде системы сравнений:

$n \equiv 3 \pmod{5}$
$n \equiv 0 \pmod{2}$

Из первого сравнения следует, что $n$ можно представить в виде $n = 5k + 3$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \dots$). Такие числа могут оканчиваться на цифру 3 (например, 3, 13, 23) или 8 (например, 8, 18, 28).

Из второго сравнения, $n \equiv 0 \pmod{2}$, следует, что число $n$ является четным. Среди чисел, оканчивающихся на 3 или 8, четными являются только те, что оканчиваются на 8.

Для более строгого решения подставим $n = 5k + 3$ во второе сравнение:

$5k + 3 \equiv 0 \pmod{2}$

Так как $5 \equiv 1 \pmod{2}$ и $3 \equiv 1 \pmod{2}$, получаем:

$k \cdot 1 + 1 \equiv 0 \pmod{2}$
$k \equiv -1 \pmod{2}$, что эквивалентно $k \equiv 1 \pmod{2}$.

Это означает, что $k$ должно быть нечетным числом. Представим $k$ в виде $k = 2m + 1$, где $m$ — любое целое неотрицательное число ($m=0, 1, 2, \dots$).

Теперь подставим это выражение для $k$ в формулу для $n$:

$n = 5(2m + 1) + 3 = 10m + 5 + 3 = 10m + 8$.

Эта формула описывает все натуральные числа, которые оканчиваются на 8.

Ответ: все натуральные числа, оканчивающиеся на 8. Их можно записать формулой $n = 10m + 8$, где $m$ — любое целое неотрицательное число.

791 Докажите, что:

a) $(c + 1)(c - 3) + (c - 1)(c + 3) + 6 = 2c^2;$

б) $(a^2 - 2)(a + 1) - (a^2 + 1)(a - 2) + 3a = 3a^2;$

в) $(y + 1)(y + 2)(y - 3) - y(y^2 - 7) + 6 = 0;$

г) $b(b - 1)(b + 2) + b(b + 1)(b - 2) - 2b(b^2 - 2) = 0.$

а) Чтобы доказать тождество $(c + 1)(c - 3) + (c - 1)(c + 3) + 6 = 2c^2$, преобразуем его левую часть. Для этого раскроем скобки в каждом произведении многочленов:

$(c + 1)(c - 3) = c \cdot c + c \cdot (-3) + 1 \cdot c + 1 \cdot (-3) = c^2 - 3c + c - 3 = c^2 - 2c - 3$.

$(c - 1)(c + 3) = c \cdot c + c \cdot 3 - 1 \cdot c - 1 \cdot 3 = c^2 + 3c - c - 3 = c^2 + 2c - 3$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в левую часть исходного равенства и упростим его:

$(c^2 - 2c - 3) + (c^2 + 2c - 3) + 6 = c^2 - 2c - 3 + c^2 + 2c - 3 + 6$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(c^2 + c^2) + (-2c + 2c) + (-3 - 3 + 6) = 2c^2 + 0 + 0 = 2c^2$.

В результате преобразования левая часть оказалась равна правой части ($2c^2 = 2c^2$), что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $(a^2 - 2)(a + 1) - (a^2 + 1)(a - 2) + 3a = 3a^2$, преобразуем его левую часть. Раскроем скобки:

$(a^2 - 2)(a + 1) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot 1 - 2 \cdot a - 2 \cdot 1 = a^3 + a^2 - 2a - 2$.

$(a^2 + 1)(a - 2) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot (-2) + 1 \cdot a + 1 \cdot (-2) = a^3 - 2a^2 + a - 2$.

Подставим полученные многочлены в левую часть исходного равенства. Обратим внимание на знак "минус" перед вторым произведением:

$(a^3 + a^2 - 2a - 2) - (a^3 - 2a^2 + a - 2) + 3a = a^3 + a^2 - 2a - 2 - a^3 + 2a^2 - a + 2 + 3a$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^3 - a^3) + (a^2 + 2a^2) + (-2a - a + 3a) + (-2 + 2) = 0 + 3a^2 + 0 + 0 = 3a^2$.

Левая часть тождественно равна правой ($3a^2 = 3a^2$), что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

в) Чтобы доказать тождество $(y + 1)(y + 2)(y - 3) - y(y^2 - 7) + 6 = 0$, преобразуем его левую часть. Сначала раскроем произведение трех скобок:

$(y + 1)(y + 2) = y^2 + 2y + y + 2 = y^2 + 3y + 2$.

$(y^2 + 3y + 2)(y - 3) = y^2(y-3) + 3y(y-3) + 2(y-3) = y^3 - 3y^2 + 3y^2 - 9y + 2y - 6 = y^3 - 7y - 6$.

Теперь раскроем скобки во втором члене выражения:

$-y(y^2 - 7) = -y^3 + 7y$.

Подставим все преобразованные части в левую часть исходного равенства:

$(y^3 - 7y - 6) + (-y^3 + 7y) + 6 = y^3 - 7y - 6 - y^3 + 7y + 6$.

Приведем подобные слагаемые:

$(y^3 - y^3) + (-7y + 7y) + (-6 + 6) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Левая часть равна правой части ($0 = 0$), что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

г) Чтобы доказать тождество $b(b - 1)(b + 2) + b(b + 1)(b - 2) - 2b(b^2 - 2) = 0$, преобразуем его левую часть, раскрыв все скобки:

Первый член: $b(b - 1)(b + 2) = b(b^2 + 2b - b - 2) = b(b^2 + b - 2) = b^3 + b^2 - 2b$.

Второй член: $b(b + 1)(b - 2) = b(b^2 - 2b + b - 2) = b(b^2 - b - 2) = b^3 - b^2 - 2b$.

Третий член: $-2b(b^2 - 2) = -2b^3 + 4b$.

Теперь сложим все полученные выражения:

$(b^3 + b^2 - 2b) + (b^3 - b^2 - 2b) + (-2b^3 + 4b) = b^3 + b^2 - 2b + b^3 - b^2 - 2b - 2b^3 + 4b$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(b^3 + b^3 - 2b^3) + (b^2 - b^2) + (-2b - 2b + 4b) = (2b^3 - 2b^3) + 0 + (-4b + 4b) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Левая часть равна правой части ($0 = 0$), что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.