Номер 785, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.7. Деление с остатком. Глава 7. Многочлены - номер 785, страница 219.

785 Докажите, что если числа $a$ и $b$ при делении на число $c$ дают один и тот же остаток, то их разность делится на $c$.

Пусть даны два целых числа $a$ и $b$, и натуральное число $c$. По условию, при делении числа $a$ на число $c$ и числа $b$ на число $c$ получается один и тот же остаток. Обозначим этот остаток буквой $r$.

Согласно определению деления с остатком, мы можем записать эти условия в виде следующих равенств:

$a = c \cdot q_1 + r$
Здесь $q_1$ — это неполное частное (целое число) от деления $a$ на $c$, а $r$ — остаток, причем $0 \le r < c$.

$b = c \cdot q_2 + r$
Здесь $q_2$ — это неполное частное (целое число) от деления $b$ на $c$, а остаток $r$ тот же самый, что и в первом случае.

Теперь найдем разность чисел $a$ и $b$, подставив вместо них записанные выше выражения:

$a - b = (c \cdot q_1 + r) - (c \cdot q_2 + r)$

Раскроем скобки:

$a - b = c \cdot q_1 + r - c \cdot q_2 - r$

Приведем подобные слагаемые. Остатки $r$ взаимно уничтожаются ($r - r = 0$):

$a - b = c \cdot q_1 - c \cdot q_2$

Вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$a - b = c \cdot (q_1 - q_2)$

Поскольку $q_1$ и $q_2$ являются целыми числами (как неполные частные), их разность $(q_1 - q_2)$ также является целым числом. Обозначим эту разность буквой $k$, где $k = q_1 - q_2$ и $k$ — целое число.

В результате мы получаем равенство:

$a - b = c \cdot k$

Это равенство по определению означает, что разность $(a - b)$ делится на число $c$ нацело (без остатка). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.