Номер 791, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 7. Многочлены - номер 791, страница 219.

791 Докажите, что:

a) $(c + 1)(c - 3) + (c - 1)(c + 3) + 6 = 2c^2;$

б) $(a^2 - 2)(a + 1) - (a^2 + 1)(a - 2) + 3a = 3a^2;$

в) $(y + 1)(y + 2)(y - 3) - y(y^2 - 7) + 6 = 0;$

г) $b(b - 1)(b + 2) + b(b + 1)(b - 2) - 2b(b^2 - 2) = 0.$

а) Чтобы доказать тождество $(c + 1)(c - 3) + (c - 1)(c + 3) + 6 = 2c^2$, преобразуем его левую часть. Для этого раскроем скобки в каждом произведении многочленов:

$(c + 1)(c - 3) = c \cdot c + c \cdot (-3) + 1 \cdot c + 1 \cdot (-3) = c^2 - 3c + c - 3 = c^2 - 2c - 3$.

$(c - 1)(c + 3) = c \cdot c + c \cdot 3 - 1 \cdot c - 1 \cdot 3 = c^2 + 3c - c - 3 = c^2 + 2c - 3$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в левую часть исходного равенства и упростим его:

$(c^2 - 2c - 3) + (c^2 + 2c - 3) + 6 = c^2 - 2c - 3 + c^2 + 2c - 3 + 6$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(c^2 + c^2) + (-2c + 2c) + (-3 - 3 + 6) = 2c^2 + 0 + 0 = 2c^2$.

В результате преобразования левая часть оказалась равна правой части ($2c^2 = 2c^2$), что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $(a^2 - 2)(a + 1) - (a^2 + 1)(a - 2) + 3a = 3a^2$, преобразуем его левую часть. Раскроем скобки:

$(a^2 - 2)(a + 1) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot 1 - 2 \cdot a - 2 \cdot 1 = a^3 + a^2 - 2a - 2$.

$(a^2 + 1)(a - 2) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot (-2) + 1 \cdot a + 1 \cdot (-2) = a^3 - 2a^2 + a - 2$.

Подставим полученные многочлены в левую часть исходного равенства. Обратим внимание на знак "минус" перед вторым произведением:

$(a^3 + a^2 - 2a - 2) - (a^3 - 2a^2 + a - 2) + 3a = a^3 + a^2 - 2a - 2 - a^3 + 2a^2 - a + 2 + 3a$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^3 - a^3) + (a^2 + 2a^2) + (-2a - a + 3a) + (-2 + 2) = 0 + 3a^2 + 0 + 0 = 3a^2$.

Левая часть тождественно равна правой ($3a^2 = 3a^2$), что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

в) Чтобы доказать тождество $(y + 1)(y + 2)(y - 3) - y(y^2 - 7) + 6 = 0$, преобразуем его левую часть. Сначала раскроем произведение трех скобок:

$(y + 1)(y + 2) = y^2 + 2y + y + 2 = y^2 + 3y + 2$.

$(y^2 + 3y + 2)(y - 3) = y^2(y-3) + 3y(y-3) + 2(y-3) = y^3 - 3y^2 + 3y^2 - 9y + 2y - 6 = y^3 - 7y - 6$.

Теперь раскроем скобки во втором члене выражения:

$-y(y^2 - 7) = -y^3 + 7y$.

Подставим все преобразованные части в левую часть исходного равенства:

$(y^3 - 7y - 6) + (-y^3 + 7y) + 6 = y^3 - 7y - 6 - y^3 + 7y + 6$.

Приведем подобные слагаемые:

$(y^3 - y^3) + (-7y + 7y) + (-6 + 6) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Левая часть равна правой части ($0 = 0$), что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

г) Чтобы доказать тождество $b(b - 1)(b + 2) + b(b + 1)(b - 2) - 2b(b^2 - 2) = 0$, преобразуем его левую часть, раскрыв все скобки:

Первый член: $b(b - 1)(b + 2) = b(b^2 + 2b - b - 2) = b(b^2 + b - 2) = b^3 + b^2 - 2b$.

Второй член: $b(b + 1)(b - 2) = b(b^2 - 2b + b - 2) = b(b^2 - b - 2) = b^3 - b^2 - 2b$.

Третий член: $-2b(b^2 - 2) = -2b^3 + 4b$.

Теперь сложим все полученные выражения:

$(b^3 + b^2 - 2b) + (b^3 - b^2 - 2b) + (-2b^3 + 4b) = b^3 + b^2 - 2b + b^3 - b^2 - 2b - 2b^3 + 4b$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(b^3 + b^3 - 2b^3) + (b^2 - b^2) + (-2b - 2b + 4b) = (2b^3 - 2b^3) + 0 + (-4b + 4b) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Левая часть равна правой части ($0 = 0$), что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.