Номер 793, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 7. Многочлены - номер 793, страница 220.

793 Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел делится на 5.

Для доказательства этого утверждения, обозначим пять последовательных натуральных чисел. Удобно выбрать среднее из них за $n$. Тогда последовательность чисел будет выглядеть так: $n-2$, $n-1$, $n$, $n+1$, $n+2$. Для того чтобы все числа были натуральными, необходимо, чтобы $n-2 \geq 1$, то есть $n \geq 3$.

Теперь составим сумму квадратов этих пяти чисел. Обозначим эту сумму буквой $S$: $S = (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. $S = (n^2 - 4n + 4) + (n^2 - 2n + 1) + n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $S = (n^2 + n^2 + n^2 + n^2 + n^2) + (-4n - 2n + 2n + 4n) + (4 + 1 + 1 + 4)$

Выполним сложение в каждой группе: $S = 5n^2 + 0 \cdot n + 10$ $S = 5n^2 + 10$

Теперь вынесем общий множитель 5 за скобки: $S = 5(n^2 + 2)$

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \geq 3$), то $n^2$ — также натуральное число. Сумма натурального числа $n^2$ и числа 2, то есть $(n^2 + 2)$, также является целым (и натуральным) числом. Таким образом, исходная сумма $S$ представлена в виде произведения числа 5 и целого числа $(n^2 + 2)$, что по определению означает, что сумма $S$ делится на 5 нацело.

Ответ: Утверждение доказано: сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел всегда делится на 5.