Номер 790, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.7. Деление с остатком. Глава 7. Многочлены - номер 790, страница 219.

790 Найдите все натуральные числа, которые:

a) при делении на 5 дают в остатке 4 ($N \equiv 4 \pmod{5}$), а при делении на 2 дают в остатке 1 ($N \equiv 1 \pmod{2}$);

б) при делении на 5 дают в остатке 3 ($N \equiv 3 \pmod{5}$) и делятся на 2 ($N \equiv 0 \pmod{2}$).

а) Пусть $n$ — искомое натуральное число. По условию, $n$ при делении на 5 дает в остатке 4, и при делении на 2 дает в остатке 1. Это можно записать в виде системы сравнений:

$n \equiv 4 \pmod{5}$
$n \equiv 1 \pmod{2}$

Из первого сравнения следует, что $n$ можно представить в виде $n = 5k + 4$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \dots$). Такие числа могут оканчиваться на цифру 4 (например, 4, 14, 24) или 9 (например, 9, 19, 29).

Из второго сравнения, $n \equiv 1 \pmod{2}$, следует, что число $n$ является нечетным. Среди чисел, оканчивающихся на 4 или 9, нечетными являются только те, что оканчиваются на 9.

Для более строгого решения подставим $n = 5k + 4$ во второе сравнение:

$5k + 4 \equiv 1 \pmod{2}$

Так как $5 \equiv 1 \pmod{2}$ и $4 \equiv 0 \pmod{2}$, получаем:

$k \cdot 1 + 0 \equiv 1 \pmod{2}$
$k \equiv 1 \pmod{2}$

Это означает, что $k$ должно быть нечетным числом. Представим $k$ в виде $k = 2m + 1$, где $m$ — любое целое неотрицательное число ($m=0, 1, 2, \dots$).

Теперь подставим это выражение для $k$ в формулу для $n$:

$n = 5(2m + 1) + 4 = 10m + 5 + 4 = 10m + 9$.

Эта формула описывает все натуральные числа, которые оканчиваются на 9.

Ответ: все натуральные числа, оканчивающиеся на 9. Их можно записать формулой $n = 10m + 9$, где $m$ — любое целое неотрицательное число.

б) Пусть $n$ — искомое натуральное число. По условию, $n$ при делении на 5 дает в остатке 3 и делится на 2. Запишем это в виде системы сравнений:

$n \equiv 3 \pmod{5}$
$n \equiv 0 \pmod{2}$

Из первого сравнения следует, что $n$ можно представить в виде $n = 5k + 3$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \dots$). Такие числа могут оканчиваться на цифру 3 (например, 3, 13, 23) или 8 (например, 8, 18, 28).

Из второго сравнения, $n \equiv 0 \pmod{2}$, следует, что число $n$ является четным. Среди чисел, оканчивающихся на 3 или 8, четными являются только те, что оканчиваются на 8.

Для более строгого решения подставим $n = 5k + 3$ во второе сравнение:

$5k + 3 \equiv 0 \pmod{2}$

Так как $5 \equiv 1 \pmod{2}$ и $3 \equiv 1 \pmod{2}$, получаем:

$k \cdot 1 + 1 \equiv 0 \pmod{2}$
$k \equiv -1 \pmod{2}$, что эквивалентно $k \equiv 1 \pmod{2}$.

Это означает, что $k$ должно быть нечетным числом. Представим $k$ в виде $k = 2m + 1$, где $m$ — любое целое неотрицательное число ($m=0, 1, 2, \dots$).

Теперь подставим это выражение для $k$ в формулу для $n$:

$n = 5(2m + 1) + 3 = 10m + 5 + 3 = 10m + 8$.

Эта формула описывает все натуральные числа, которые оканчиваются на 8.

Ответ: все натуральные числа, оканчивающиеся на 8. Их можно записать формулой $n = 10m + 8$, где $m$ — любое целое неотрицательное число.