Номер 782, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

7.7. Деление с остатком. Глава 7. Многочлены - номер 782, страница 219.

782 Докажите, что:

а) сумма чётного и нечётного чисел есть число нечётное;

б) сумма двух нечётных чисел есть число чётное;

в) сумма двух последовательных натуральных чисел есть число нечётное;

г) произведение двух последовательных натуральных чисел есть число чётное.

а) Пусть чётное число равно $a$, а нечётное число равно $b$.
Любое чётное число можно представить в виде $a = 2k$, где $k$ - целое число.
Любое нечётное число можно представить в виде $b = 2m + 1$, где $m$ - целое число.
Найдем их сумму:
$a + b = 2k + (2m + 1) = 2k + 2m + 1$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$a + b = 2(k + m) + 1$
Так как $k$ и $m$ - целые числа, то их сумма $(k+m)$ также является целым числом. Обозначим $p = k + m$.
Тогда сумма имеет вид $2p + 1$, что по определению является формулой нечётного числа.
Ответ: Сумма чётного и нечётного чисел является нечётным числом, что и требовалось доказать.

б) Пусть у нас есть два нечётных числа: $a = 2k + 1$ и $b = 2m + 1$, где $k$ и $m$ - целые числа.
Найдем их сумму:
$a + b = (2k + 1) + (2m + 1) = 2k + 2m + 2$
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$a + b = 2(k + m + 1)$
Так как $k$ и $m$ - целые числа, то выражение в скобках $(k + m + 1)$ также является целым числом. Обозначим $p = k + m + 1$.
Тогда сумма имеет вид $2p$, что по определению является формулой чётного числа.
Ответ: Сумма двух нечётных чисел является чётным числом, что и требовалось доказать.

в) Пусть у нас есть два последовательных натуральных числа. Обозначим первое число как $n$, тогда следующее за ним будет $n + 1$.
Найдем их сумму:
$n + (n + 1) = 2n + 1$
Так как $n$ - натуральное (а значит, и целое) число, то выражение $2n + 1$ по определению является формулой нечётного числа.
Другой способ доказательства: из двух последовательных натуральных чисел одно всегда чётное, а другое - нечётное. Согласно доказанному в пункте «а», сумма чётного и нечётного чисел всегда является нечётным числом.
Ответ: Сумма двух последовательных натуральных чисел является нечётным числом, что и требовалось доказать.

г) Пусть у нас есть два последовательных натуральных числа: $n$ и $n + 1$.
Рассмотрим два возможных случая для числа $n$.
Случай 1: $n$ - чётное число.
Если $n$ чётное, его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ - натуральное число.
Тогда их произведение равно:
$n(n + 1) = 2k(2k + 1)$
Это число делится на 2, а значит, является чётным.
Случай 2: $n$ - нечётное число.
Если $n$ нечётное, то следующее за ним число $n + 1$ будет чётным.
Тогда $n + 1$ можно представить в виде $n + 1 = 2k$, где $k$ - натуральное число.
Их произведение равно:
$n(n + 1) = n \cdot 2k = 2nk$
Это число также делится на 2, а значит, является чётным.
Поскольку любое натуральное число является либо чётным, либо нечётным, мы рассмотрели все возможные случаи. В обоих случаях произведение является чётным.
Ответ: Произведение двух последовательных натуральных чисел является чётным числом, что и требовалось доказать.