Номер 777, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.6. Решение задач с помощью уравнений. Глава 7. Многочлены - номер 777, страница 217.

777 Картинку квадратной формы наклеили на белую бумагу, в результате получилась белая окантовка вокруг всей картинки шириной 5 см. После этого она стала занимать в альбоме площадь на $460 \text{ см}^2$ больше, чем она занимала без окантовки. Найдите размеры и площадь картинки.

Для решения задачи обозначим сторону квадратной картинки через $x$ в сантиметрах. Тогда ее площадь будет равна $S_{картинки} = x^2$ см².

Картинку наклеили на белую бумагу, в результате чего получилась окантовка шириной 5 см. Это означает, что к каждой стороне картинки добавилось по 5 см с двух сторон. Таким образом, новый объект (картинка с окантовкой) также является квадратом, сторона которого равна $x + 5 + 5 = x + 10$ см.

Общая площадь, занимаемая картинкой с окантовкой, равна $S_{общая} = (x + 10)^2$ см².

В условии сказано, что площадь картинки с окантовкой стала на 460 см² больше, чем площадь картинки без окантовки. Это значит, что площадь самой окантовки составляет 460 см². Площадь окантовки можно выразить как разность общей площади и площади картинки. Составим уравнение:
$S_{окантовки} = S_{общая} - S_{картинки}$
$460 = (x + 10)^2 - x^2$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$460 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2) - x^2$
$460 = x^2 + 20x + 100 - x^2$
Приведем подобные слагаемые:
$460 = 20x + 100$
Вычтем 100 из обеих частей уравнения:
$460 - 100 = 20x$
$360 = 20x$
Разделим обе части на 20, чтобы найти $x$:
$x = \frac{360}{20} = 18$
Таким образом, мы нашли, что сторона исходной картинки равна 18 см.

Размеры картинки
Поскольку картинка имеет квадратную форму и ее сторона равна 18 см, ее размеры составляют 18 см на 18 см.
Ответ: размеры картинки 18 см $\times$ 18 см.

Площадь картинки
Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – сторона квадрата. Подставим найденное значение стороны:
$S_{картинки} = 18^2 = 324$ см².
Ответ: площадь картинки 324 см².