Страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

775 Прогулочный речной катер на маршрут к базе отдыха и обратно затрачивает 2 ч 40 мин. На каком расстоянии от начала маршрута находится база отдыха, если собственная скорость катера 35 км/ч, скорость течения реки 5 км/ч и возле базы отдыха катер делает остановку на 1,5 ч?

Для решения этой задачи необходимо найти чистое время движения катера, определить его скорости по течению и против течения, а затем составить и решить уравнение относительно искомого расстояния.

1. Найдём чистое время движения катера.

Общее время, которое катер затратил на весь маршрут, включая остановку, составляет 2 часа 40 минут. Переведём это время в часы для удобства расчётов:

$T_{общ} = 2 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 2 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ ч.

Из этого времени нужно вычесть время стоянки, которое равно 1,5 часа:

$T_{стоянка} = 1,5 \text{ ч} = \frac{3}{2}$ ч.

Таким образом, время, которое катер непосредственно находился в движении (туда и обратно), составляет:

$T_{движ} = T_{общ} - T_{стоянка} = \frac{8}{3} - \frac{3}{2} = \frac{16}{6} - \frac{9}{6} = \frac{7}{6}$ ч.

2. Определим скорости катера.

Собственная скорость катера $v_{соб} = 35$ км/ч, а скорость течения реки $v_{теч} = 5$ км/ч.Когда катер плывёт по течению, его скорость складывается со скоростью течения:

$v_{по} = v_{соб} + v_{теч} = 35 + 5 = 40$ км/ч.

Когда катер плывёт против течения, его скорость уменьшается на скорость течения:

$v_{против} = v_{соб} - v_{теч} = 35 - 5 = 30$ км/ч.

3. Составим уравнение и найдём расстояние.

Пусть $S$ — искомое расстояние от начала маршрута до базы отдыха в километрах.Время, затраченное на путь по течению, равно $t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{S}{40}$ ч.Время, затраченное на путь против течения, равно $t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{S}{30}$ ч.Сумма времени движения в обе стороны равна чистому времени движения $T_{движ}$:

$t_{по} + t_{против} = T_{движ}$

$\frac{S}{40} + \frac{S}{30} = \frac{7}{6}$

Чтобы решить это уравнение, приведём дроби в левой части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 40 и 30 — это 120:

$\frac{3S}{120} + \frac{4S}{120} = \frac{7}{6}$

$\frac{7S}{120} = \frac{7}{6}$

Теперь можно выразить $S$. Разделим обе части уравнения на 7:

$\frac{S}{120} = \frac{1}{6}$

Отсюда находим $S$:

$S = \frac{120}{6} = 20$ км.

Ответ: расстояние от начала маршрута до базы отдыха составляет 20 км.

776 Вниз по течению реки мимо пристани проплыл плот. Через 10 мин от этой пристани отошёл катер в том же направлении. Собственная скорость катера 35 км/ч, скорость течения реки 5 км/ч. Катер обогнал плот и причалил к следующей пристани, а через 11 мин мимо неё проплыл плот. Чему равно расстояние между пристанями?

Для решения задачи введем переменные и определим скорости движения плота и катера.

1. Определение скоростей

Скорость плота равна скорости течения реки, так как у плота нет собственного двигателя.
$V_{плота} = V_{течения} = 5$ км/ч.

Катер движется вниз по течению, поэтому его скорость складывается из его собственной скорости и скорости течения реки.
$V_{катера} = V_{собственная} + V_{течения} = 35 + 5 = 40$ км/ч.

2. Анализ времени движения

Пусть $S$ (в км) — это искомое расстояние между пристанями.
Время, которое плот затратил на то, чтобы проплыть это расстояние, равно:
$t_{плота} = \frac{S}{V_{плота}} = \frac{S}{5}$ часов.

Время, которое катер затратил на то, чтобы пройти это же расстояние, равно:
$t_{катера} = \frac{S}{V_{катера}} = \frac{S}{40}$ часов.

Теперь сопоставим время движения. Катер отправился на 10 минут позже, чем мимо пристани проплыл плот. После того как катер прибыл ко второй пристани, плоту потребовалось еще 11 минут, чтобы доплыть до нее. Это означает, что общее время, которое плот находился в пути, на $10 + 11 = 21$ минуту больше, чем время, которое был в пути катер.

Переведем 21 минуту в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы:
$21 \text{ мин} = \frac{21}{60} \text{ ч} = \frac{7}{20} \text{ ч}$.

3. Составление и решение уравнения

Мы можем составить уравнение, связывающее время движения плота и катера:
$t_{плота} = t_{катера} + \frac{7}{20}$

Подставим в это уравнение выражения для времени через расстояние $S$:
$\frac{S}{5} = \frac{S}{40} + \frac{7}{20}$

Для решения уравнения перенесем слагаемое с $S$ в левую часть:
$\frac{S}{5} - \frac{S}{40} = \frac{7}{20}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 40:
$\frac{8 \cdot S}{40} - \frac{S}{40} = \frac{7}{20}$
$\frac{7S}{40} = \frac{7}{20}$

Теперь можно найти $S$. Умножим обе части уравнения на 40:
$7S = \frac{7 \cdot 40}{20}$
$7S = 7 \cdot 2$
$7S = 14$
$S = \frac{14}{7} = 2$ км.

Ответ: расстояние между пристанями равно 2 км.

777 Картинку квадратной формы наклеили на белую бумагу, в результате получилась белая окантовка вокруг всей картинки шириной 5 см. После этого она стала занимать в альбоме площадь на $460 \text{ см}^2$ больше, чем она занимала без окантовки. Найдите размеры и площадь картинки.

Для решения задачи обозначим сторону квадратной картинки через $x$ в сантиметрах. Тогда ее площадь будет равна $S_{картинки} = x^2$ см².

Картинку наклеили на белую бумагу, в результате чего получилась окантовка шириной 5 см. Это означает, что к каждой стороне картинки добавилось по 5 см с двух сторон. Таким образом, новый объект (картинка с окантовкой) также является квадратом, сторона которого равна $x + 5 + 5 = x + 10$ см.

Общая площадь, занимаемая картинкой с окантовкой, равна $S_{общая} = (x + 10)^2$ см².

В условии сказано, что площадь картинки с окантовкой стала на 460 см² больше, чем площадь картинки без окантовки. Это значит, что площадь самой окантовки составляет 460 см². Площадь окантовки можно выразить как разность общей площади и площади картинки. Составим уравнение:
$S_{окантовки} = S_{общая} - S_{картинки}$
$460 = (x + 10)^2 - x^2$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$460 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2) - x^2$
$460 = x^2 + 20x + 100 - x^2$
Приведем подобные слагаемые:
$460 = 20x + 100$
Вычтем 100 из обеих частей уравнения:
$460 - 100 = 20x$
$360 = 20x$
Разделим обе части на 20, чтобы найти $x$:
$x = \frac{360}{20} = 18$
Таким образом, мы нашли, что сторона исходной картинки равна 18 см.

Размеры картинки
Поскольку картинка имеет квадратную форму и ее сторона равна 18 см, ее размеры составляют 18 см на 18 см.
Ответ: размеры картинки 18 см $\times$ 18 см.

Площадь картинки
Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – сторона квадрата. Подставим найденное значение стороны:
$S_{картинки} = 18^2 = 324$ см².
Ответ: площадь картинки 324 см².

778 У Наташи есть аквариум с прямоугольным дном, одна сторона которого на 16 см больше другой. Она заменила его большим аквариумом, длина и ширина дна которого на 4 см больше. Она заметила, что если заполнить этот аквариум водой на высоту 30 см, то потребуется на 6 л больше воды, чем требовалось для старого аквариума при заполнении его на такую же высоту. Найдите размеры дна нового аквариума.

Для решения задачи введем переменные. Пусть ширина дна старого аквариума равна $x$ см. Поскольку одна сторона на 16 см больше другой, то длина дна старого аквариума равна $(x + 16)$ см.

Длина и ширина дна нового аквариума на 4 см больше соответствующих размеров старого. Таким образом, размеры дна нового аквариума:

• Ширина: $(x + 4)$ см
• Длина: $(x + 16) + 4 = (x + 20)$ см

Объем воды в аквариуме вычисляется по формуле $V = S_{дна} \cdot h$, где $h$ — высота уровня воды. По условию, в обоих случаях высота составляет $h = 30$ см.

Объем воды в старом аквариуме:
$V_{старый} = x \cdot (x + 16) \cdot 30$ см³.

Объем воды в новом аквариуме:
$V_{новый} = (x + 4) \cdot (x + 20) \cdot 30$ см³.

Разница в объеме составляет 6 литров. Необходимо перевести литры в кубические сантиметры, зная, что 1 л = 1000 см³.
$6 \text{ л} = 6000 \text{ см}^3$.

Составим уравнение, исходя из того, что объем воды в новом аквариуме на 6000 см³ больше, чем в старом:
$V_{новый} - V_{старый} = 6000$
$(x + 4)(x + 20) \cdot 30 - x(x + 16) \cdot 30 = 6000$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 30:
$(x + 4)(x + 20) - x(x + 16) = \frac{6000}{30}$
$(x + 4)(x + 20) - x(x + 16) = 200$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$(x^2 + 20x + 4x + 80) - (x^2 + 16x) = 200$
$x^2 + 24x + 80 - x^2 - 16x = 200$
$(x^2 - x^2) + (24x - 16x) + 80 = 200$
$8x + 80 = 200$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:
$8x = 200 - 80$
$8x = 120$
$x = \frac{120}{8}$
$x = 15$

Таким образом, ширина старого аквариума равна 15 см. Нам нужно найти размеры дна нового аквариума.
Ширина нового аквариума: $x + 4 = 15 + 4 = 19$ см.
Длина нового аквариума: $x + 20 = 15 + 20 = 35$ см.

Ответ: размеры дна нового аквариума — 19 см и 35 см.

779 Друзья Томаса Эдисона удивлялись, почему калитка перед его домом открывается с трудом. «Калитка отрегулирована так, как надо, — смеясь, ответил Эдисон, — я сделал от неё привод к цистерне, и каждый входящий накачивает в цистерну 20 л воды. Если бы каждый посетитель накачивал в цистерну на 5 л воды больше, то для заполнения цистерны понадобилось бы на 12 человек меньше. Сколько воды вмещала цистерна?

Для решения этой задачи введем переменные и составим уравнение.

Пусть $V$ — это полный объем цистерны в литрах, а $n$ — первоначальное количество посетителей, которое необходимо для ее заполнения.

Согласно первому условию, каждый из $n$ посетителей накачивает 20 литров воды. Следовательно, объем цистерны можно выразить формулой:
$V = 20 \cdot n$

Согласно второму, гипотетическому, условию, каждый посетитель накачивал бы на 5 литров больше, то есть $20 + 5 = 25$ литров. В этом случае для заполнения цистерны потребовалось бы на 12 человек меньше, то есть $n - 12$ посетителей. Объем цистерны при этих условиях можно выразить так:
$V = 25 \cdot (n - 12)$

Поскольку объем цистерны $V$ в обоих сценариях один и тот же, мы можем приравнять правые части этих двух выражений, чтобы составить уравнение с одной переменной $n$:
$20n = 25(n - 12)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти первоначальное количество посетителей:
$20n = 25n - 25 \cdot 12$
$20n = 25n - 300$
$25n - 20n = 300$
$5n = 300$
$n = \frac{300}{5}$
$n = 60$

Таким образом, первоначально для заполнения цистерны требовалось 60 посетителей.

Теперь, зная количество посетителей, мы можем вычислить объем цистерны $V$, подставив значение $n = 60$ в любое из первоначальных уравнений. Воспользуемся первым:
$V = 20 \cdot n = 20 \cdot 60 = 1200$ литров.

Для проверки можно подставить $n = 60$ во второе уравнение:
$V = 25 \cdot (n - 12) = 25 \cdot (60 - 12) = 25 \cdot 48 = 1200$ литров.

Оба расчета дают одинаковый результат, что подтверждает правильность решения.

Ответ: цистерна вмещала 1200 литров воды.

780 (Старинная задача.) По контракту работникам причитается по 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них взыскивается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали за этот период?

Для решения этой задачи можно составить уравнение. Пусть $x$ — это количество дней, которые работники отработали. Поскольку общий период составляет 30 дней, то количество неотработанных дней будет равно $30 - x$.

За каждый отработанный день работники получали 48 франков. Таким образом, за $x$ дней они заработали $48x$ франков.

За каждый неотработанный день с них взыскивали 12 франков. За $(30 - x)$ дней с них взыскали $12 \cdot (30 - x)$ франков.

По условию, через 30 дней итоговая сумма, причитающаяся работникам, оказалась равна нулю. Это означает, что сумма, которую они заработали, равна сумме, которую с них взыскали. Составим уравнение:

$48x = 12 \cdot (30 - x)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Сначала раскроем скобки в правой части:

$48x = 12 \cdot 30 - 12 \cdot x$

$48x = 360 - 12x$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть уравнения:

$48x + 12x = 360$

$60x = 360$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 60:

$x = \frac{360}{60}$

$x = 6$

Таким образом, работники отработали 6 дней.

Проверим результат:

• Количество отработанных дней: 6. Заработок: $6 \cdot 48 = 288$ франков.
• Количество неотработанных дней: $30 - 6 = 24$. Взыскание: $24 \cdot 12 = 288$ франков.
• Итоговый баланс: $288 - 288 = 0$ франков.

Результат верный.

Ответ: 6 дней.