Страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

751 Докажите, что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа.

$n(n+1) + (n+1) = (n+1)^2$

Для доказательства этого утверждения введем переменные. Пусть у нас есть два последовательных натуральных числа. Обозначим меньшее из них как $n$, тогда большее число, следующее за ним, будет $n+1$.

Согласно условию задачи, мы должны выполнить следующие действия:

1. Найти произведение этих двух чисел: $n \cdot (n+1)$.

2. К полученному произведению прибавить большее из этих двух чисел, то есть $n+1$.

В результате мы получаем следующее математическое выражение: $n(n+1) + (n+1)$.

Теперь нам нужно доказать, что это выражение равно квадрату большего числа, то есть $(n+1)^2$. Проведем алгебраические преобразования.

Способ 1: Вынесение общего множителя за скобки.

В выражении $n(n+1) + (n+1)$ оба слагаемых имеют общий множитель $(n+1)$. Вынесем его за скобки:

$n(n+1) + 1 \cdot (n+1) = (n+1)(n+1)$

Произведение $(n+1)(n+1)$ по определению является квадратом выражения $(n+1)$:

$(n+1)(n+1) = (n+1)^2$

Способ 2: Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.

Раскроем скобки в исходном выражении $n(n+1) + (n+1)$:

$n \cdot n + n \cdot 1 + n + 1 = n^2 + n + n + 1$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$n^2 + (n+n) + 1 = n^2 + 2n + 1$

Полученное выражение $n^2 + 2n + 1$ является известной формулой сокращенного умножения — квадратом суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=n$ и $b=1$.

Следовательно, $n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$.

Оба способа доказательства приводят к одному и тому же результату: $n(n+1) + (n+1) = (n+1)^2$. Это означает, что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них, то действительно получится квадрат большего числа.

Ответ: Утверждение доказано. Если два последовательных натуральных числа обозначить как $n$ и $n+1$, то сложение их произведения с большим числом дает $n(n+1) + (n+1) = (n+1)^2$, что является квадратом большего числа.

752 Докажите равенство:

а) $(a - 1)^2 + 2(a - 1) + 1 = a^2;$

б) $(1 - a)^2 + 2a(1 - a) + a^2 = 1;$

в) $(x + 1)^2 - 4(x + 1) + 4 = (x - 1)^2;$

г) $(x + y)^2 - 2(x + y)(x - y) + (x - y)^2 = 4y^2.$

а) Чтобы доказать равенство, преобразуем его левую часть. Заметим, что выражение имеет вид $X^2 + 2X + 1$, где $X = a - 1$. Это формула квадрата суммы, которая сворачивается в $(X+1)^2$.
Подставим обратно $X = a-1$:
$(a - 1)^2 + 2(a - 1) + 1 = ((a - 1) + 1)^2$.
Упростим выражение в скобках:
$((a - 1) + 1)^2 = (a - 1 + 1)^2 = a^2$.
Таким образом, мы показали, что левая часть равенства тождественно равна правой: $a^2 = a^2$. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

б) Преобразуем левую часть равенства. Выражение $(1 - a)^2 + 2a(1 - a) + a^2$ представляет собой формулу квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$, где $A = (1-a)$ и $B=a$.
Свернем левую часть по этой формуле:
$(1 - a)^2 + 2a(1 - a) + a^2 = ((1-a) + a)^2$.
Упростим выражение внутри скобок:
$((1-a) + a)^2 = (1-a+a)^2 = 1^2 = 1$.
В результате преобразования левая часть стала равна правой: $1 = 1$. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

в) Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Выражение $(x + 1)^2 - 4(x + 1) + 4$ можно представить в виде формулы квадрата разности $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$.
Пусть $A = (x+1)$ и $B=2$. Тогда $B^2 = 4$, а $2AB = 2 \cdot (x+1) \cdot 2 = 4(x+1)$.
Таким образом, левая часть сворачивается в $(A-B)^2$:
$(x + 1)^2 - 4(x + 1) + 4 = ((x+1) - 2)^2$.
Упростим выражение в скобках:
$((x+1) - 2)^2 = (x+1-2)^2 = (x-1)^2$.
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства: $(x-1)^2 = (x-1)^2$. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

г) Преобразуем левую часть равенства. Она имеет вид $A^2 - 2AB + B^2$, что является формулой квадрата разности $(A-B)^2$.
В данном случае $A = (x+y)$ и $B = (x-y)$.
Применим формулу к левой части:
$(x + y)^2 - 2(x + y)(x - y) + (x - y)^2 = ((x+y) - (x-y))^2$.
Раскроем скобки внутри внешних скобок и упростим выражение:
$((x+y) - (x-y))^2 = (x+y-x+y)^2 = (2y)^2$.
Возведем в квадрат:
$(2y)^2 = 4y^2$.
Таким образом, левая часть тождественно равна правой: $4y^2 = 4y^2$. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

Выделите квадрат двучлена (753-754).

753 a) $a^2 + 6a - 10;$

б) $x^2 - 4x + 1;$

в) $c^2 + 10c;$

г) $x^2 + 3x - 0,25;$

д) $a^2 - \frac{1}{4}a + \frac{1}{4};$

е) $b^2 + b + 1.$

Образец.

$x^2 - 8x + 9 = x^2 - 2 \cdot 4 \cdot x + 16 - 16 + 9 = (x - 4)^2 - 7.$

а)

Чтобы выделить квадрат двучлена из выражения $a^2 + 6a - 10$, используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем выражении первый член — это $a^2$, а удвоенное произведение первого члена на второй — это $6a$. Отсюда следует, что $2 \cdot a \cdot y = 6a$, значит, второй член $y=3$.

Для полного квадрата необходим член $y^2 = 3^2 = 9$. Добавим и вычтем 9, чтобы не изменить значение выражения:

$a^2 + 6a - 10 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 9) - 9 - 10$

Группируем первые три слагаемых, которые теперь образуют полный квадрат:

$(a+3)^2 - 19$

Ответ: $(a+3)^2 - 19$.

б)

Для выражения $x^2 - 4x + 1$ используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь первый член — это $x^2$, удвоенное произведение — $4x$. Значит, $2 \cdot x \cdot y = 4x$, откуда второй член $y=2$.

Для полного квадрата нужен член $y^2 = 2^2 = 4$. Добавим и вычтем 4:

$x^2 - 4x + 1 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1$

Группируем слагаемые в полный квадрат:

$(x-2)^2 - 3$

Ответ: $(x-2)^2 - 3$.

в)

Для выражения $c^2 + 10c$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый член — $c^2$, удвоенное произведение — $10c$. Отсюда $2 \cdot c \cdot y = 10c$, и второй член $y=5$.

Для полного квадрата нужен член $y^2 = 5^2 = 25$. Добавим и вычтем 25:

$c^2 + 10c = (c^2 + 10c + 25) - 25$

Группируем слагаемые в полный квадрат:

$(c+5)^2 - 25$

Ответ: $(c+5)^2 - 25$.

г)

Для выражения $x^2 + 3x - 0,25$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый член — $x^2$, удвоенное произведение — $3x$. Отсюда $2 \cdot x \cdot y = 3x$, и второй член $y = \frac{3}{2} = 1,5$.

Для полного квадрата нужен член $y^2 = (1,5)^2 = 2,25$. Добавим и вычтем 2,25:

$x^2 + 3x - 0,25 = (x^2 + 3x + 2,25) - 2,25 - 0,25$

Группируем слагаемые в полный квадрат:

$(x+1,5)^2 - 2,5$

Ответ: $(x+1,5)^2 - 2,5$.

д)

Для выражения $a^2 - \frac{1}{4}a + \frac{1}{4}$ используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Первый член — $a^2$, удвоенное произведение — $\frac{1}{4}a$. Отсюда $2 \cdot a \cdot y = \frac{1}{4}a$, и второй член $y = \frac{1}{8}$.

Для полного квадрата нужен член $y^2 = (\frac{1}{8})^2 = \frac{1}{64}$. Добавим и вычтем $\frac{1}{64}$:

$a^2 - \frac{1}{4}a + \frac{1}{4} = (a^2 - \frac{1}{4}a + \frac{1}{64}) - \frac{1}{64} + \frac{1}{4}$

Группируем слагаемые в полный квадрат и вычисляем оставшуюся часть:

$(a - \frac{1}{8})^2 + (-\frac{1}{64} + \frac{16}{64}) = (a - \frac{1}{8})^2 + \frac{15}{64}$

Ответ: $(a - \frac{1}{8})^2 + \frac{15}{64}$.

е)

Для выражения $b^2 + b + 1$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый член — $b^2$, удвоенное произведение — $b$. Отсюда $2 \cdot b \cdot y = b$, и второй член $y = \frac{1}{2}$.

Для полного квадрата нужен член $y^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Добавим и вычтем $\frac{1}{4}$:

$b^2 + b + 1 = (b^2 + b + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + 1$

Группируем слагаемые в полный квадрат и вычисляем оставшуюся часть:

$(b + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

Ответ: $(b + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.

754 a) $a^2 + 3ab + b^2;$

б) $x^2 + xy + y^2;$

В) $m^2 - mn + n^2;$

Г) $4a^2 + 5ac + c^2.$

а) $a^2 + 3ab + b^2$

Для преобразования данного трехчлена применим метод выделения полного квадрата. Мы будем использовать формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.

В нашем выражении $a^2 + 3ab + b^2$ первый член - это квадрат $a$. Средний член $3ab$ мы представим в виде удвоенного произведения. Чтобы получить $3ab$, нужно $2 \cdot a$ умножить на $\frac{3b}{2}$. Таким образом, в качестве второго слагаемого в квадрате суммы у нас будет $\frac{3b}{2}$.

Для получения полного квадрата $(a + \frac{3b}{2})^2$ нам не хватает слагаемого $(\frac{3b}{2})^2 = \frac{9b^2}{4}$. Добавим и вычтем это слагаемое из исходного выражения, чтобы не изменить его значение:

$a^2 + 3ab + b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{3b}{2} + (\frac{3b}{2})^2 - (\frac{3b}{2})^2 + b^2$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат:

$(a^2 + 3ab + \frac{9b^2}{4}) - \frac{9b^2}{4} + b^2 = (a + \frac{3b}{2})^2 - \frac{9b^2}{4} + \frac{4b^2}{4}$

Упростим оставшуюся часть:

$(a + \frac{3b}{2})^2 - \frac{5b^2}{4}$

Таким образом, мы представили исходный трехчлен в виде разности квадрата и другого выражения.

Ответ: $(a + \frac{3b}{2})^2 - \frac{5b^2}{4}$.

б) $x^2 + xy + y^2$

Для преобразования этого выражения также используем метод выделения полного квадрата по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Первый член $x^2$ является квадратом $x$. Средний член $xy$ представим как удвоенное произведение: $xy = 2 \cdot x \cdot \frac{y}{2}$. Вторым слагаемым в скобках будет $\frac{y}{2}$.

Для полного квадрата $(x + \frac{y}{2})^2$ нужно добавить и отнять слагаемое $(\frac{y}{2})^2 = \frac{y^2}{4}$:

$x^2 + xy + y^2 = (x^2 + xy + \frac{y^2}{4}) - \frac{y^2}{4} + y^2$

Сгруппируем первые три члена:

$(x + \frac{y}{2})^2 - \frac{y^2}{4} + \frac{4y^2}{4}$

Упростим оставшуюся часть:

$(x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4}$

Выражение представлено в виде суммы двух квадратов, так как $(x + \frac{y}{2})^2 \ge 0$ и $\frac{3y^2}{4} \ge 0$. Это означает, что исходное выражение всегда неотрицательно.

Ответ: $(x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4}$.

в) $m^2 - mn + n^2$

Это выражение похоже на предыдущее. Применим метод выделения полного квадрата, но на этот раз используя формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Первый член $m^2$ — это квадрат $m$. Средний член $-mn$ представим как $-2 \cdot m \cdot \frac{n}{2}$. Вторым слагаемым в квадрате разности будет $\frac{n}{2}$.

Добавим и вычтем $(\frac{n}{2})^2 = \frac{n^2}{4}$:

$m^2 - mn + n^2 = (m^2 - mn + \frac{n^2}{4}) - \frac{n^2}{4} + n^2$

Сгруппируем первые три члена в полный квадрат:

$(m - \frac{n}{2})^2 - \frac{n^2}{4} + \frac{4n^2}{4}$

Упростим оставшиеся слагаемые:

$(m - \frac{n}{2})^2 + \frac{3n^2}{4}$

Как и в предыдущем примере, мы получили сумму квадратов, что доказывает неотрицательность данного выражения при любых значениях $m$ и $n$.

Ответ: $(m - \frac{n}{2})^2 + \frac{3n^2}{4}$.

г) $4a^2 + 5ac + c^2$

Преобразуем выражение, выделив полный квадрат. Заметим, что $4a^2 = (2a)^2$. Будем использовать формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x = 2a$.

Средний член $5ac$ представим в виде $2xy = 2 \cdot (2a) \cdot y$. Отсюда $4ay = 5ac$, значит $y = \frac{5c}{4}$.

Для полного квадрата нам нужно добавить и вычесть $y^2 = (\frac{5c}{4})^2 = \frac{25c^2}{16}$:

$4a^2 + 5ac + c^2 = (4a^2 + 5ac + \frac{25c^2}{16}) - \frac{25c^2}{16} + c^2$

Первые три слагаемых образуют квадрат суммы $(2a + \frac{5c}{4})^2$. Упростим оставшиеся слагаемые:

$(2a + \frac{5c}{4})^2 - \frac{25c^2}{16} + \frac{16c^2}{16} = (2a + \frac{5c}{4})^2 - \frac{9c^2}{16}$

Полученное выражение является разностью квадратов $A^2-B^2$, где $A = 2a + \frac{5c}{4}$ и $B = \sqrt{\frac{9c^2}{16}} = \frac{3c}{4}$.

Применим формулу разности квадратов $A^2-B^2 = (A-B)(A+B)$:

$( (2a + \frac{5c}{4}) - \frac{3c}{4} ) \cdot ( (2a + \frac{5c}{4}) + \frac{3c}{4} )$

Упростим выражения в скобках:

$(2a + \frac{5c-3c}{4}) \cdot (2a + \frac{5c+3c}{4}) = (2a + \frac{2c}{4}) \cdot (2a + \frac{8c}{4}) = (2a + \frac{c}{2}) \cdot (2a + 2c)$

Для получения более простого вида разложим на множители. Вынесем 2 из второй скобки: $2(a+c)$. Тогда выражение примет вид: $(2a + \frac{c}{2}) \cdot 2(a+c)$. Внесем множитель 2 в первую скобку: $2(2a + \frac{c}{2}) = 4a+c$. В итоге получаем:

$(4a+c)(a+c)$

Ответ: $(4a+c)(a+c)$.

755 Дополните равенство:

a) $x^2 + y^2 = (x + y)^2...;$

б) $x^2 + y^2 = (x - y)^2...$

а) Для того чтобы дополнить данное равенство, необходимо выразить $x^2 + y^2$ через $(x+y)^2$. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Из этой формулы мы видим, что $(x+y)^2$ содержит $x^2 + y^2$, а также дополнительный член $2xy$. Чтобы получить исходное выражение $x^2 + y^2$, нам нужно вычесть этот дополнительный член из раскрытого квадрата суммы.

Итак, мы начинаем с $x^2 + y^2 = (x+y)^2...$

Заменяем $(x+y)^2$ на $x^2 + 2xy + y^2$:

$x^2 + y^2 = (x^2 + 2xy + y^2)...$

Чтобы правая часть стала равна левой, необходимо вычесть $2xy$:

$x^2 + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 - 2xy$

Следовательно, пропущенный член — это $-2xy$.

Ответ: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.

б) Аналогично первому пункту, дополним второе равенство. Здесь мы используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Мы видим, что $(x-y)^2$ содержит $x^2 + y^2$, но при этом из него вычитается член $2xy$. Чтобы получить исходное выражение $x^2 + y^2$, нам нужно скомпенсировать это вычитание, то есть прибавить $2xy$ к квадрату разности.

Итак, мы начинаем с $x^2 + y^2 = (x-y)^2...$

Заменяем $(x-y)^2$ на $x^2 - 2xy + y^2$:

$x^2 + y^2 = (x^2 - 2xy + y^2)...$

Чтобы правая часть стала равна левой, необходимо прибавить $2xy$:

$x^2 + y^2 = x^2 - 2xy + y^2 + 2xy$

Следовательно, пропущенный член — это $+2xy$.

Ответ: $x^2 + y^2 = (x-y)^2 + 2xy$.

756 Найдите значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, если:

а) $x + \frac{1}{x} = 2,5$;

б) $x - \frac{1}{x} = 2$.

а) Дано выражение $x + \frac{1}{x} = 2,5$. Необходимо найти значение $x^2 + \frac{1}{x^2}$.

Чтобы связать эти два выражения, возведем в квадрат обе части исходного равенства. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=x$ и $b=\frac{1}{x}$.

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2$

Произведение $x \cdot \frac{1}{x} = 1$, поэтому выражение упрощается:

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Мы знаем, что $x + \frac{1}{x} = 2,5$, подставим это значение в левую часть:

$(2,5)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

$6,25 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$

Теперь выразим искомую величину $x^2 + \frac{1}{x^2}$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 6,25 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4,25$

Ответ: 4,25.

б) Дано выражение $x - \frac{1}{x} = 2$. Необходимо найти значение $x^2 + \frac{1}{x^2}$.

Аналогично пункту а), возведем в квадрат обе части исходного равенства. В этот раз используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=x$ и $b=\frac{1}{x}$.

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2$

Упростим выражение, учитывая, что $x \cdot \frac{1}{x} = 1$:

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

Мы знаем, что $x - \frac{1}{x} = 2$, подставим это значение в левую часть:

$2^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

$4 = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2$

Теперь выразим искомую величину $x^2 + \frac{1}{x^2}$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4 + 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$

Ответ: 6.

757 Исследуем

1) Используя формулу квадрата двучлена, возведите в квадрат трёхчлен $a+b+c$. (Указание. Сделайте замену $a+b=x$.) Проиллюстрируйте полученное равенство геометрически, изобразив квадрат со стороной $a+b+c$.

2) С помощью полученной формулы возведите в квадрат:

$a-b+c$; $a-b-c$.

3) По аналогии с формулой, полученной в п. 1, запишите формулу для преобразования в многочлен выражения $(a+b+c+d)^2$. Проверьте с помощью умножения, верно ли записанное равенство.

4) Пользуясь выведенной формулой, возведите в квадрат

$a+b-c+d$.

1) Для того чтобы возвести трехчлен $a + b + c$ в квадрат, воспользуемся указанием и сделаем замену $a + b = x$. Тогда выражение $(a + b + c)^2$ превратится в $(x + c)^2$.

Применим формулу квадрата двучлена $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$:

$(x + c)^2 = x^2 + 2xc + c^2$

Теперь сделаем обратную замену, подставив $a + b$ вместо $x$:

$(a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2$

Снова применим формулу квадрата двучлена для $(a+b)^2$ и раскроем скобки $2(a+b)c$:

$(a^2 + 2ab + b^2) + (2ac + 2bc) + c^2$

Сгруппируем члены, чтобы получить стандартный вид многочлена:

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Это и есть формула квадрата трехчлена.

Для геометрической иллюстрации представим квадрат со стороной, равной $a + b + c$. Площадь этого квадрата равна $(a + b + c)^2$.

Разделим каждую сторону квадрата на три отрезка длиной $a$, $b$ и $c$. Проведя через точки деления прямые, параллельные сторонам квадрата, мы разобьем большой квадрат на 9 прямоугольников. Их площади:

• Один квадрат со стороной $a$ и площадью $a^2$.
• Один квадрат со стороной $b$ и площадью $b^2$.
• Один квадрат со стороной $c$ и площадью $c^2$.
• Два прямоугольника со сторонами $a$ и $b$, каждый площадью $ab$ (общая площадь $2ab$).
• Два прямоугольника со сторонами $a$ и $c$, каждый площадью $ac$ (общая площадь $2ac$).
• Два прямоугольника со сторонами $b$ и $c$, каждый площадью $bc$ (общая площадь $2bc$).

Сложив площади всех этих частей, мы получим площадь большого квадрата:

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Таким образом, мы геометрически подтвердили равенство.

Ответ: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.

2) Используем полученную формулу $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$ для возведения в квадрат заданных выражений.

Для выражения $a - b + c$, представим его как $(a + (-b) + c)^2$. Здесь $x=a$, $y=-b$, $z=c$.

$(a + (-b) + c)^2 = a^2 + (-b)^2 + c^2 + 2a(-b) + 2ac + 2(-b)c = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$.

Для выражения $a - b - c$, представим его как $(a + (-b) + (-c))^2$. Здесь $x=a$, $y=-b$, $z=-c$.

$(a + (-b) + (-c))^2 = a^2 + (-b)^2 + (-c)^2 + 2a(-b) + 2a(-c) + 2(-b)(-c) = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$.

Ответ: $(a-b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$; $(a-b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$.

3) Формула для квадрата трехчлена $(a+b+c)^2$ представляет собой сумму квадратов каждого из слагаемых ($a^2, b^2, c^2$) и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых ($2ab, 2ac, 2bc$).

По аналогии, формула для квадрата четырехчлена $(a+b+c+d)^2$ будет суммой квадратов всех четырех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар.

Квадраты слагаемых: $a^2, b^2, c^2, d^2$.

Пары слагаемых: $(a,b), (a,c), (a,d), (b,c), (b,d), (c,d)$. Их удвоенные произведения: $2ab, 2ac, 2ad, 2bc, 2bd, 2cd$.

Предполагаемая формула:

$(a+b+c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$.

Проверим эту формулу умножением, используя результат из п. 1. Сделаем замену $x = a+b+c$.

$(a+b+c+d)^2 = (x+d)^2 = x^2+2xd+d^2$

Подставим обратно $x = a+b+c$:

$(a+b+c)^2 + 2(a+b+c)d + d^2$

Используя формулу из п. 1 и раскрывая скобки, получаем:

$(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc) + (2ad+2bd+2cd) + d^2$

Перегруппировав члены, получаем то же самое выражение, что и при выводе по аналогии:

$a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$

Равенство записано верно.

Ответ: $(a+b+c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$.

4) Для возведения в квадрат выражения $a+b-c+d$ воспользуемся выведенной в п. 3 формулой.

Представим выражение в виде $(a+b+(-c)+d)^2$.

Применяем формулу для квадрата четырехчлена, где в качестве третьего слагаемого выступает $-c$:

$(a+b+(-c)+d)^2 = a^2 + b^2 + (-c)^2 + d^2 + 2ab + 2a(-c) + 2ad + 2b(-c) + 2bd + 2(-c)d$

Упростим выражение, раскрыв скобки и выполнив умножение:

$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab - 2ac + 2ad - 2bc + 2bd - 2cd$

Ответ: $(a+b-c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2+2ab-2ac+2ad-2bc+2bd-2cd$.