Номер 751, страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 751, страница 210.

751 Докажите, что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа.

$n(n+1) + (n+1) = (n+1)^2$

Для доказательства этого утверждения введем переменные. Пусть у нас есть два последовательных натуральных числа. Обозначим меньшее из них как $n$, тогда большее число, следующее за ним, будет $n+1$.

Согласно условию задачи, мы должны выполнить следующие действия:

1. Найти произведение этих двух чисел: $n \cdot (n+1)$.

2. К полученному произведению прибавить большее из этих двух чисел, то есть $n+1$.

В результате мы получаем следующее математическое выражение: $n(n+1) + (n+1)$.

Теперь нам нужно доказать, что это выражение равно квадрату большего числа, то есть $(n+1)^2$. Проведем алгебраические преобразования.

Способ 1: Вынесение общего множителя за скобки.

В выражении $n(n+1) + (n+1)$ оба слагаемых имеют общий множитель $(n+1)$. Вынесем его за скобки:

$n(n+1) + 1 \cdot (n+1) = (n+1)(n+1)$

Произведение $(n+1)(n+1)$ по определению является квадратом выражения $(n+1)$:

$(n+1)(n+1) = (n+1)^2$

Способ 2: Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.

Раскроем скобки в исходном выражении $n(n+1) + (n+1)$:

$n \cdot n + n \cdot 1 + n + 1 = n^2 + n + n + 1$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$n^2 + (n+n) + 1 = n^2 + 2n + 1$

Полученное выражение $n^2 + 2n + 1$ является известной формулой сокращенного умножения — квадратом суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=n$ и $b=1$.

Следовательно, $n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$.

Оба способа доказательства приводят к одному и тому же результату: $n(n+1) + (n+1) = (n+1)^2$. Это означает, что если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них, то действительно получится квадрат большего числа.

Ответ: Утверждение доказано. Если два последовательных натуральных числа обозначить как $n$ и $n+1$, то сложение их произведения с большим числом дает $n(n+1) + (n+1) = (n+1)^2$, что является квадратом большего числа.