Номер 752, страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 752, страница 210.

752 Докажите равенство:

а) $(a - 1)^2 + 2(a - 1) + 1 = a^2;$

б) $(1 - a)^2 + 2a(1 - a) + a^2 = 1;$

в) $(x + 1)^2 - 4(x + 1) + 4 = (x - 1)^2;$

г) $(x + y)^2 - 2(x + y)(x - y) + (x - y)^2 = 4y^2.$

а) Чтобы доказать равенство, преобразуем его левую часть. Заметим, что выражение имеет вид $X^2 + 2X + 1$, где $X = a - 1$. Это формула квадрата суммы, которая сворачивается в $(X+1)^2$.
Подставим обратно $X = a-1$:
$(a - 1)^2 + 2(a - 1) + 1 = ((a - 1) + 1)^2$.
Упростим выражение в скобках:
$((a - 1) + 1)^2 = (a - 1 + 1)^2 = a^2$.
Таким образом, мы показали, что левая часть равенства тождественно равна правой: $a^2 = a^2$. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

б) Преобразуем левую часть равенства. Выражение $(1 - a)^2 + 2a(1 - a) + a^2$ представляет собой формулу квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$, где $A = (1-a)$ и $B=a$.
Свернем левую часть по этой формуле:
$(1 - a)^2 + 2a(1 - a) + a^2 = ((1-a) + a)^2$.
Упростим выражение внутри скобок:
$((1-a) + a)^2 = (1-a+a)^2 = 1^2 = 1$.
В результате преобразования левая часть стала равна правой: $1 = 1$. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

в) Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Выражение $(x + 1)^2 - 4(x + 1) + 4$ можно представить в виде формулы квадрата разности $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$.
Пусть $A = (x+1)$ и $B=2$. Тогда $B^2 = 4$, а $2AB = 2 \cdot (x+1) \cdot 2 = 4(x+1)$.
Таким образом, левая часть сворачивается в $(A-B)^2$:
$(x + 1)^2 - 4(x + 1) + 4 = ((x+1) - 2)^2$.
Упростим выражение в скобках:
$((x+1) - 2)^2 = (x+1-2)^2 = (x-1)^2$.
Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства: $(x-1)^2 = (x-1)^2$. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

г) Преобразуем левую часть равенства. Она имеет вид $A^2 - 2AB + B^2$, что является формулой квадрата разности $(A-B)^2$.
В данном случае $A = (x+y)$ и $B = (x-y)$.
Применим формулу к левой части:
$(x + y)^2 - 2(x + y)(x - y) + (x - y)^2 = ((x+y) - (x-y))^2$.
Раскроем скобки внутри внешних скобок и упростим выражение:
$((x+y) - (x-y))^2 = (x+y-x+y)^2 = (2y)^2$.
Возведем в квадрат:
$(2y)^2 = 4y^2$.
Таким образом, левая часть тождественно равна правой: $4y^2 = 4y^2$. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.