Номер 749, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 749, страница 209.

749 Пользуясь формулами квадрата суммы и квадрата разности, представьте в виде многочлена выражение:

а) $(a + b)^4;$

б) $(a - b)^4.$

Для решения данной задачи мы воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и квадратом разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Выражение в четвертой степени можно представить как квадрат квадрата: $z^4 = (z^2)^2$.

а) $(a + b)^4$

Представим выражение $(a + b)^4$ как квадрат выражения $(a+b)^2$:

$(a + b)^4 = ((a + b)^2)^2$

Сначала раскроем внутренние скобки, используя формулу квадрата суммы:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Теперь подставим полученный многочлен обратно в исходное выражение:

$((a + b)^2)^2 = (a^2 + 2ab + b^2)^2$

Чтобы возвести в квадрат полученный трехчлен, снова применим формулу квадрата суммы, сгруппировав слагаемые. Например, представим $(a^2 + 2ab)$ как первое слагаемое, а $b^2$ как второе:

$((a^2 + 2ab) + b^2)^2$

По формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x = a^2 + 2ab$ и $y = b^2$, получаем:

$(a^2 + 2ab)^2 + 2 \cdot (a^2 + 2ab) \cdot b^2 + (b^2)^2$

Раскроем каждую часть выражения по отдельности:

$(a^2 + 2ab)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot (2ab) + (2ab)^2 = a^4 + 4a^3b + 4a^2b^2$

$2 \cdot (a^2 + 2ab) \cdot b^2 = 2(a^2b^2 + 2ab^3) = 2a^2b^2 + 4ab^3$

$(b^2)^2 = b^4$

Теперь сложим все части вместе и приведем подобные слагаемые:

$(a^4 + 4a^3b + 4a^2b^2) + (2a^2b^2 + 4ab^3) + b^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

Ответ: $a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.

б) $(a - b)^4$

Действуем аналогично, представив выражение $(a - b)^4$ как квадрат выражения $(a-b)^2$:

$(a - b)^4 = ((a - b)^2)^2$

Раскроем внутренние скобки, используя формулу квадрата разности:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Подставим полученный многочлен обратно:

$((a - b)^2)^2 = (a^2 - 2ab + b^2)^2$

Чтобы возвести в квадрат этот трехчлен, сгруппируем слагаемые и снова применим формулу квадрата. Можно, например, применить формулу квадрата суммы, сгруппировав так: $((a^2 - 2ab) + b^2)^2$. Пусть $x = a^2 - 2ab$ и $y = b^2$:

$(a^2 - 2ab)^2 + 2 \cdot (a^2 - 2ab) \cdot b^2 + (b^2)^2$

Раскроем каждую часть выражения:

$(a^2 - 2ab)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot (2ab) + (2ab)^2 = a^4 - 4a^3b + 4a^2b^2$ (здесь применили формулу квадрата разности).

$2 \cdot (a^2 - 2ab) \cdot b^2 = 2(a^2b^2 - 2ab^3) = 2a^2b^2 - 4ab^3$

$(b^2)^2 = b^4$

Сложим все части вместе и приведем подобные слагаемые:

$(a^4 - 4a^3b + 4a^2b^2) + (2a^2b^2 - 4ab^3) + b^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$

Ответ: $a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$.