Номер 753, страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 753, страница 210.

Выделите квадрат двучлена (753-754).

753 a) $a^2 + 6a - 10;$

б) $x^2 - 4x + 1;$

в) $c^2 + 10c;$

г) $x^2 + 3x - 0,25;$

д) $a^2 - \frac{1}{4}a + \frac{1}{4};$

е) $b^2 + b + 1.$

Образец.

$x^2 - 8x + 9 = x^2 - 2 \cdot 4 \cdot x + 16 - 16 + 9 = (x - 4)^2 - 7.$

а)

Чтобы выделить квадрат двучлена из выражения $a^2 + 6a - 10$, используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем выражении первый член — это $a^2$, а удвоенное произведение первого члена на второй — это $6a$. Отсюда следует, что $2 \cdot a \cdot y = 6a$, значит, второй член $y=3$.

Для полного квадрата необходим член $y^2 = 3^2 = 9$. Добавим и вычтем 9, чтобы не изменить значение выражения:

$a^2 + 6a - 10 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 9) - 9 - 10$

Группируем первые три слагаемых, которые теперь образуют полный квадрат:

$(a+3)^2 - 19$

Ответ: $(a+3)^2 - 19$.

б)

Для выражения $x^2 - 4x + 1$ используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь первый член — это $x^2$, удвоенное произведение — $4x$. Значит, $2 \cdot x \cdot y = 4x$, откуда второй член $y=2$.

Для полного квадрата нужен член $y^2 = 2^2 = 4$. Добавим и вычтем 4:

$x^2 - 4x + 1 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1$

Группируем слагаемые в полный квадрат:

$(x-2)^2 - 3$

Ответ: $(x-2)^2 - 3$.

в)

Для выражения $c^2 + 10c$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый член — $c^2$, удвоенное произведение — $10c$. Отсюда $2 \cdot c \cdot y = 10c$, и второй член $y=5$.

Для полного квадрата нужен член $y^2 = 5^2 = 25$. Добавим и вычтем 25:

$c^2 + 10c = (c^2 + 10c + 25) - 25$

Группируем слагаемые в полный квадрат:

$(c+5)^2 - 25$

Ответ: $(c+5)^2 - 25$.

г)

Для выражения $x^2 + 3x - 0,25$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый член — $x^2$, удвоенное произведение — $3x$. Отсюда $2 \cdot x \cdot y = 3x$, и второй член $y = \frac{3}{2} = 1,5$.

Для полного квадрата нужен член $y^2 = (1,5)^2 = 2,25$. Добавим и вычтем 2,25:

$x^2 + 3x - 0,25 = (x^2 + 3x + 2,25) - 2,25 - 0,25$

Группируем слагаемые в полный квадрат:

$(x+1,5)^2 - 2,5$

Ответ: $(x+1,5)^2 - 2,5$.

д)

Для выражения $a^2 - \frac{1}{4}a + \frac{1}{4}$ используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Первый член — $a^2$, удвоенное произведение — $\frac{1}{4}a$. Отсюда $2 \cdot a \cdot y = \frac{1}{4}a$, и второй член $y = \frac{1}{8}$.

Для полного квадрата нужен член $y^2 = (\frac{1}{8})^2 = \frac{1}{64}$. Добавим и вычтем $\frac{1}{64}$:

$a^2 - \frac{1}{4}a + \frac{1}{4} = (a^2 - \frac{1}{4}a + \frac{1}{64}) - \frac{1}{64} + \frac{1}{4}$

Группируем слагаемые в полный квадрат и вычисляем оставшуюся часть:

$(a - \frac{1}{8})^2 + (-\frac{1}{64} + \frac{16}{64}) = (a - \frac{1}{8})^2 + \frac{15}{64}$

Ответ: $(a - \frac{1}{8})^2 + \frac{15}{64}$.

е)

Для выражения $b^2 + b + 1$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Первый член — $b^2$, удвоенное произведение — $b$. Отсюда $2 \cdot b \cdot y = b$, и второй член $y = \frac{1}{2}$.

Для полного квадрата нужен член $y^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Добавим и вычтем $\frac{1}{4}$:

$b^2 + b + 1 = (b^2 + b + \frac{1}{4}) - \frac{1}{4} + 1$

Группируем слагаемые в полный квадрат и вычисляем оставшуюся часть:

$(b + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

Ответ: $(b + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.