Номер 747, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 747, страница 209.

747 Выведите формулу куба суммы

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Пользуясь этой формулой, преобразуйте выражение:

a) $(x + y)^3$

б) $(x + 2y)^3$

Чтобы вывести формулу куба суммы $(a+b)^3$, представим это выражение как произведение $(a+b)$ на $(a+b)^2$. Формула квадрата суммы нам известна: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Теперь выполним умножение многочленов:

$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 + 2ab + b^2) = a \cdot (a^2 + 2ab + b^2) + b \cdot (a^2 + 2ab + b^2)$

Раскроем скобки:

$a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3$

В результате получаем искомую формулу:

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Используем эту формулу для преобразования выражений.

а) Чтобы преобразовать выражение $(x+y)^3$, подставим в формулу куба суммы $a=x$ и $b=y$.

$(x+y)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot y + 3 \cdot x \cdot y^2 + y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

Ответ: $x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

б) Чтобы преобразовать выражение $(x+2y)^3$, подставим в формулу куба суммы $a=x$ и $b=2y$.

$(x+2y)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot (2y) + 3 \cdot x \cdot (2y)^2 + (2y)^3$

Теперь упростим полученное выражение, выполнив все действия:

$x^3 + (3 \cdot 2)x^2y + 3x(4y^2) + 8y^3$

$x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$

Ответ: $x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3$