Номер 745, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 745, страница 209.

745 Упростите выражение:

a) $(m^2 + n - 4)^2 - (m^2 + n - 1)(m^2 + n - 8);$

б) $(2x^2 + x - 5)^2 - (2x^2 + x)(2x^2 + x - 1) + 9(2x^2 + x).$

Подсказка. Сделайте удобную замену.

а)

Рассмотрим выражение $(m^2 + n - 4)^2 - (m^2 + n - 1)(m^2 + n - 8)$.

Чтобы упростить вычисления, воспользуемся подсказкой и сделаем замену. Заметим, что группа слагаемых $(m^2 + n)$ повторяется во всех частях выражения.

Пусть $a = m^2 + n$. Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$(a - 4)^2 - (a - 1)(a - 8)$

Теперь раскроем скобки. Первую скобку раскроем по формуле квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Вторую часть раскроем путем перемножения двучленов.

$(a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2) - (a \cdot a - 8a - 1 \cdot a + (-1)(-8)) = (a^2 - 8a + 16) - (a^2 - 9a + 8)$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные:

$a^2 - 8a + 16 - a^2 + 9a - 8$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-8a + 9a) + (16 - 8) = a + 8$

Теперь выполним обратную замену, подставив $m^2 + n$ вместо $a$:

$a + 8 = m^2 + n + 8$

Ответ: $m^2 + n + 8$

б)

Рассмотрим выражение $(2x^2 + x - 5)^2 - (2x^2 + x)(2x^2 + x - 1) + 9(2x^2 + x)$.

Аналогично предыдущему пункту, сделаем замену, чтобы упростить выражение. Общая часть здесь — это $(2x^2 + x)$.

Пусть $y = 2x^2 + x$. Тогда выражение примет вид:

$(y - 5)^2 - y(y - 1) + 9y$

Теперь раскроем скобки. Для $(y - 5)^2$ используем формулу квадрата разности, а для $-y(y - 1)$ — распределительный закон умножения.

$(y^2 - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2) - (y^2 - y) + 9y = (y^2 - 10y + 25) - y^2 + y + 9y$

Раскроем оставшиеся скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 10y + 25 - y^2 + y + 9y$

$(y^2 - y^2) + (-10y + y + 9y) + 25 = 0 + 0 + 25 = 25$

В результате упрощения все члены, содержащие переменную, сократились, и осталась только константа.

Ответ: $25$