Номер 740, страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 740, страница 208.

740 Докажите, что $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$. Поясните это равенство с помощью рисунка 7.8.

Рис. 7.8

Доказательство

Для доказательства тождества $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$ преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы и квадратом разности.

Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Подставим разложения квадратов в левую часть исходного выражения:

$(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (2ab + 2ab) = 0 + 0 + 4ab = 4ab$

В результате преобразования левая часть равенства стала равна правой: $4ab = 4ab$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано с помощью алгебраических преобразований левой части равенства с использованием формул квадрата суммы и квадрата разности.

Пояснение с помощью рисунка 7.8

Данное тождество можно доказать геометрически, используя площади фигур, изображенных на рисунке.

1. Весь рисунок представляет собой большой квадрат. Согласно обозначениям, его сторона равна сумме отрезков $a$ и $b$, то есть $(a + b)$. Площадь этого большого квадрата составляет $S_{большого} = (a + b)^2$.

2. В центре расположен незаштрихованный квадрат. Его сторону можно найти, вычтя из стороны большого квадрата $(a+b)$ ширину заштрихованной области с двух сторон. Ширина этой области равна $b$. Таким образом, сторона внутреннего квадрата равна $(a+b) - b - b = a - b$. Площадь этого малого квадрата равна $S_{малого} = (a - b)^2$.

3. Заштрихованная область — это разность площадей большого и малого квадратов. Ее площадь $S_{заштрих.}$ равна: $S_{заштрих.} = S_{большого} - S_{малого} = (a + b)^2 - (a - b)^2$. Это выражение является левой частью доказываемого тождества.

4. С другой стороны, заштрихованная область состоит из четырех одинаковых прямоугольников, расположенных "вертушкой" вокруг центрального квадрата. У каждого из этих прямоугольников одна сторона равна $a$, а другая — $b$. Площадь одного такого прямоугольника равна $a \cdot b$.

5. Так как таких прямоугольников четыре, то общая площадь заштрихованной фигуры равна сумме их площадей: $S_{заштрих.} = ab + ab + ab + ab = 4ab$. Это выражение является правой частью доказываемого тождества.

Поскольку мы вычислили площадь одной и той же заштрихованной фигуры двумя разными способами, результаты должны быть равны. Следовательно, мы можем приравнять полученные выражения: $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$.

Ответ: Рисунок демонстрирует, что площадь заштрихованной фигуры может быть представлена как разность площадей двух квадратов со сторонами $(a+b)$ и $(a-b)$, и в то же время как сумма площадей четырех одинаковых прямоугольников со сторонами $a$ и $b$. Это доказывает равенство $(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$.