Номер 741, страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 741, страница 208.

741 Докажите, что $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$. Поясните это равенство с помощью рисунка 7.9.

$a$

$a-b$

$b$

$a$

$b$

$ab$

$ab$

$b^2$

Рис. 7.7

$b$

$a$

$a$

$b$

Рис. 7.8

$a$

$b$

$a$

$b$

Рис. 7.9

Алгебраическое доказательство

Чтобы доказать тождество $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$, преобразуем его левую часть, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности.

Формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:

$(a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + a^2) + (2ab - 2ab) + (b^2 + b^2) = 2a^2 + 0 + 2b^2 = 2a^2 + 2b^2$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2)$

Мы получили выражение, стоящее в правой части тождества. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$ является тождеством, что и требовалось доказать.

Объяснение с помощью рисунка 7.9

Рисунок 7.9 представляет собой наложение двух квадратов: большого со стороной $a$ и меньшего со стороной $b$.

Площадь большого квадрата равна $a^2$. На рисунке она соответствует области с диагональной штриховкой и области с перекрестной штриховкой.

Площадь малого квадрата равна $b^2$. На рисунке она соответствует области с вертикальной штриховкой и области с перекрестной штриховкой.

Область с перекрестной штриховкой — это место пересечения (наложения) двух квадратов. Из рисунка видно, что сторона этого квадрата равна разности сторон большого и малого квадратов, то есть $(a - b)$. Его площадь равна $(a - b)^2$.

Рассмотрим сумму площадей двух исходных квадратов: $a^2 + b^2$. Если мы сложим их площади, то площадь их общей части (пересечения) будет учтена дважды. Таким образом, сумма площадей $a^2 + b^2$ равна площади всей заштрихованной фигуры (объединения) плюс еще раз площадь пересечения.

Площадь всей заштрихованной фигуры (объединения) можно вычислить как $A_{объед.} = a^2 + b^2 - (a - b)^2 = a^2 + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2) = 2ab$.

Теперь вернемся к тождеству: $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$.

Левая часть: $(a + b)^2 + (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) = 2a^2 + 2b^2$.

Правая часть: $2(a^2 + b^2)$.

Рисунок геометрически показывает, как связаны между собой величины $a^2, b^2$ и $(a-b)^2$. Он иллюстрирует, что сумма площадей двух квадратов ($a^2+b^2$) может быть представлена как сумма площади их объединения ($2ab$) и площади их пересечения ($(a-b)^2$). То есть, $a^2 + b^2 = 2ab + (a-b)^2$. Это одна из перестановок формулы квадрата разности.

Само тождество можно представить так: площадь квадрата со стороной $(a+b)$ плюс площадь квадрата со стороной $(a-b)$ равна удвоенной сумме площадей квадратов со сторонами $a$ и $b$. Рисунок помогает визуализировать компоненты, из которых строится это равенство.

Ответ: Рисунок 7.9 показывает, что сумма площадей квадратов со сторонами $a$ и $b$ равна сумме площади их объединения (которая равна $2ab$) и площади их пересечения (которая равна $(a-b)^2$). Эти геометрические соотношения являются составными частями доказываемого алгебраического тождества.