Номер 742, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 742, страница 209.

742 Укажите пары равных выражений, пары противоположных выражений:

а) $(a-b)^2$, $(b-a)^2$, $-(a-b)^2$;

б) $(a-b)^3$, $(b-a)^3$, $-(b-a)^3$;

в) $(a-b)^4$, $(b-a)^4$, $-(b-a)^4$.

Чтобы найти равные и противоположные выражения, мы будем использовать свойство $b-a = -(a-b)$ и правила возведения в степень.

а) Даны выражения: $(a-b)^2$, $(b-a)^2$, $-(a-b)^2$.

Показатель степени $n=2$ является четным числом. Для четных степеней справедливо равенство $(x-y)^n = (y-x)^n$, так как $(b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (-1)^2 \cdot (a-b)^2 = (a-b)^2$.

Таким образом, пара равных выражений: $(a-b)^2$ и $(b-a)^2$.

Противоположными называются выражения, сумма которых равна нулю (например, $X$ и $-X$).

Пары противоположных выражений:

1. $(a-b)^2$ и $-(a-b)^2$ (противоположны по определению).

2. Поскольку $(a-b)^2 = (b-a)^2$, то пара $(b-a)^2$ и $-(a-b)^2$ также является противоположной.

Ответ: пара равных выражений: $(a-b)^2$ и $(b-a)^2$; пары противоположных выражений: $(a-b)^2$ и $-(a-b)^2$; $(b-a)^2$ и $-(a-b)^2$.

б) Даны выражения: $(a-b)^3$, $(b-a)^3$, $-(b-a)^3$.

Показатель степени $n=3$ является нечетным числом. Для нечетных степеней справедливо равенство $(y-x)^n = -(x-y)^n$, так как $(b-a)^3 = (-(a-b))^3 = (-1)^3 \cdot (a-b)^3 = -(a-b)^3$.

Из этого следует, что пара $(a-b)^3$ и $(b-a)^3$ является парой противоположных выражений.

Теперь сравним выражения $(a-b)^3$ и $-(b-a)^3$. Используя найденное выше соотношение $(b-a)^3 = -(a-b)^3$, получаем: $-(b-a)^3 = -(-(a-b)^3) = (a-b)^3$.

Таким образом, пара равных выражений: $(a-b)^3$ и $-(b-a)^3$.

Другие пары противоположных выражений:

1. $(b-a)^3$ и $-(b-a)^3$ (противоположны по определению).

Ответ: пара равных выражений: $(a-b)^3$ и $-(b-a)^3$; пары противоположных выражений: $(a-b)^3$ и $(b-a)^3$; $(b-a)^3$ и $-(b-a)^3$.

в) Даны выражения: $(a-b)^4$, $(b-a)^4$, $-(b-a)^4$.

Показатель степени $n=4$ является четным числом, поэтому, как и в пункте а), $(b-a)^4 = (a-b)^4$.

Таким образом, пара равных выражений: $(a-b)^4$ и $(b-a)^4$.

Пары противоположных выражений:

1. $(b-a)^4$ и $-(b-a)^4$ (противоположны по определению).

2. Поскольку $(a-b)^4 = (b-a)^4$, то пара $(a-b)^4$ и $-(b-a)^4$ также является противоположной.

Ответ: пара равных выражений: $(a-b)^4$ и $(b-a)^4$; пары противоположных выражений: $(a-b)^4$ и $-(b-a)^4$; $(b-a)^4$ и $-(b-a)^4$.