Номер 748, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 748, страница 209.

748 Выведите формулу куба разности

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

С помощью этой формулы представьте в виде многочлена:

а) $(x - y)^3$;

б) $(3x - y)^3$.

Для вывода формулы куба разности $(a-b)^3$ представим это выражение в виде произведения и раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат, а затем умножим на $(a-b)$:

$(a-b)^3 = (a-b)(a-b)^2$

Мы знаем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Подставим ее в наше выражение:

$(a-b)(a^2 - 2ab + b^2)$

Теперь умножим каждый член второй скобки на $a$ и на $-b$:

$a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) = (a^3 - 2a^2b + ab^2) - (a^2b - 2ab^2 + b^3)$

Раскроем вторые скобки, поменяв знаки:

$a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (-2a^2b - a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Таким образом, мы вывели формулу куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Теперь применим эту формулу для преобразования выражений в многочлены.

а) Чтобы представить выражение $(x-y)^3$ в виде многочлена, воспользуемся формулой куба разности, где $a=x$ и $b=y$.

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

$(x-y)^3 = (x)^3 - 3(x)^2(y) + 3(x)(y)^2 - (y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

Ответ: $x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

б) Чтобы представить выражение $(3x-y)^3$ в виде многочлена, воспользуемся той же формулой, но теперь $a=3x$ и $b=y$.

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

$(3x-y)^3 = (3x)^3 - 3(3x)^2(y) + 3(3x)(y)^2 - (y)^3$

Теперь выполним вычисления:

$(3x)^3 = 27x^3$

$3(3x)^2(y) = 3(9x^2)(y) = 27x^2y$

$3(3x)(y)^2 = 9xy^2$

$(y)^3 = y^3$

Собираем все вместе:

$(3x-y)^3 = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$

Ответ: $27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$