Номер 754, страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 754, страница 210.

754 a) $a^2 + 3ab + b^2;$

б) $x^2 + xy + y^2;$

В) $m^2 - mn + n^2;$

Г) $4a^2 + 5ac + c^2.$

а) $a^2 + 3ab + b^2$

Для преобразования данного трехчлена применим метод выделения полного квадрата. Мы будем использовать формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.

В нашем выражении $a^2 + 3ab + b^2$ первый член - это квадрат $a$. Средний член $3ab$ мы представим в виде удвоенного произведения. Чтобы получить $3ab$, нужно $2 \cdot a$ умножить на $\frac{3b}{2}$. Таким образом, в качестве второго слагаемого в квадрате суммы у нас будет $\frac{3b}{2}$.

Для получения полного квадрата $(a + \frac{3b}{2})^2$ нам не хватает слагаемого $(\frac{3b}{2})^2 = \frac{9b^2}{4}$. Добавим и вычтем это слагаемое из исходного выражения, чтобы не изменить его значение:

$a^2 + 3ab + b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{3b}{2} + (\frac{3b}{2})^2 - (\frac{3b}{2})^2 + b^2$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат:

$(a^2 + 3ab + \frac{9b^2}{4}) - \frac{9b^2}{4} + b^2 = (a + \frac{3b}{2})^2 - \frac{9b^2}{4} + \frac{4b^2}{4}$

Упростим оставшуюся часть:

$(a + \frac{3b}{2})^2 - \frac{5b^2}{4}$

Таким образом, мы представили исходный трехчлен в виде разности квадрата и другого выражения.

Ответ: $(a + \frac{3b}{2})^2 - \frac{5b^2}{4}$.

б) $x^2 + xy + y^2$

Для преобразования этого выражения также используем метод выделения полного квадрата по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Первый член $x^2$ является квадратом $x$. Средний член $xy$ представим как удвоенное произведение: $xy = 2 \cdot x \cdot \frac{y}{2}$. Вторым слагаемым в скобках будет $\frac{y}{2}$.

Для полного квадрата $(x + \frac{y}{2})^2$ нужно добавить и отнять слагаемое $(\frac{y}{2})^2 = \frac{y^2}{4}$:

$x^2 + xy + y^2 = (x^2 + xy + \frac{y^2}{4}) - \frac{y^2}{4} + y^2$

Сгруппируем первые три члена:

$(x + \frac{y}{2})^2 - \frac{y^2}{4} + \frac{4y^2}{4}$

Упростим оставшуюся часть:

$(x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4}$

Выражение представлено в виде суммы двух квадратов, так как $(x + \frac{y}{2})^2 \ge 0$ и $\frac{3y^2}{4} \ge 0$. Это означает, что исходное выражение всегда неотрицательно.

Ответ: $(x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4}$.

в) $m^2 - mn + n^2$

Это выражение похоже на предыдущее. Применим метод выделения полного квадрата, но на этот раз используя формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Первый член $m^2$ — это квадрат $m$. Средний член $-mn$ представим как $-2 \cdot m \cdot \frac{n}{2}$. Вторым слагаемым в квадрате разности будет $\frac{n}{2}$.

Добавим и вычтем $(\frac{n}{2})^2 = \frac{n^2}{4}$:

$m^2 - mn + n^2 = (m^2 - mn + \frac{n^2}{4}) - \frac{n^2}{4} + n^2$

Сгруппируем первые три члена в полный квадрат:

$(m - \frac{n}{2})^2 - \frac{n^2}{4} + \frac{4n^2}{4}$

Упростим оставшиеся слагаемые:

$(m - \frac{n}{2})^2 + \frac{3n^2}{4}$

Как и в предыдущем примере, мы получили сумму квадратов, что доказывает неотрицательность данного выражения при любых значениях $m$ и $n$.

Ответ: $(m - \frac{n}{2})^2 + \frac{3n^2}{4}$.

г) $4a^2 + 5ac + c^2$

Преобразуем выражение, выделив полный квадрат. Заметим, что $4a^2 = (2a)^2$. Будем использовать формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x = 2a$.

Средний член $5ac$ представим в виде $2xy = 2 \cdot (2a) \cdot y$. Отсюда $4ay = 5ac$, значит $y = \frac{5c}{4}$.

Для полного квадрата нам нужно добавить и вычесть $y^2 = (\frac{5c}{4})^2 = \frac{25c^2}{16}$:

$4a^2 + 5ac + c^2 = (4a^2 + 5ac + \frac{25c^2}{16}) - \frac{25c^2}{16} + c^2$

Первые три слагаемых образуют квадрат суммы $(2a + \frac{5c}{4})^2$. Упростим оставшиеся слагаемые:

$(2a + \frac{5c}{4})^2 - \frac{25c^2}{16} + \frac{16c^2}{16} = (2a + \frac{5c}{4})^2 - \frac{9c^2}{16}$

Полученное выражение является разностью квадратов $A^2-B^2$, где $A = 2a + \frac{5c}{4}$ и $B = \sqrt{\frac{9c^2}{16}} = \frac{3c}{4}$.

Применим формулу разности квадратов $A^2-B^2 = (A-B)(A+B)$:

$( (2a + \frac{5c}{4}) - \frac{3c}{4} ) \cdot ( (2a + \frac{5c}{4}) + \frac{3c}{4} )$

Упростим выражения в скобках:

$(2a + \frac{5c-3c}{4}) \cdot (2a + \frac{5c+3c}{4}) = (2a + \frac{2c}{4}) \cdot (2a + \frac{8c}{4}) = (2a + \frac{c}{2}) \cdot (2a + 2c)$

Для получения более простого вида разложим на множители. Вынесем 2 из второй скобки: $2(a+c)$. Тогда выражение примет вид: $(2a + \frac{c}{2}) \cdot 2(a+c)$. Внесем множитель 2 в первую скобку: $2(2a + \frac{c}{2}) = 4a+c$. В итоге получаем:

$(4a+c)(a+c)$

Ответ: $(4a+c)(a+c)$.