Номер 757, страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 757, страница 210.

757 Исследуем

1) Используя формулу квадрата двучлена, возведите в квадрат трёхчлен $a+b+c$. (Указание. Сделайте замену $a+b=x$.) Проиллюстрируйте полученное равенство геометрически, изобразив квадрат со стороной $a+b+c$.

2) С помощью полученной формулы возведите в квадрат:

$a-b+c$; $a-b-c$.

3) По аналогии с формулой, полученной в п. 1, запишите формулу для преобразования в многочлен выражения $(a+b+c+d)^2$. Проверьте с помощью умножения, верно ли записанное равенство.

4) Пользуясь выведенной формулой, возведите в квадрат

$a+b-c+d$.

1) Для того чтобы возвести трехчлен $a + b + c$ в квадрат, воспользуемся указанием и сделаем замену $a + b = x$. Тогда выражение $(a + b + c)^2$ превратится в $(x + c)^2$.

Применим формулу квадрата двучлена $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$:

$(x + c)^2 = x^2 + 2xc + c^2$

Теперь сделаем обратную замену, подставив $a + b$ вместо $x$:

$(a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2$

Снова применим формулу квадрата двучлена для $(a+b)^2$ и раскроем скобки $2(a+b)c$:

$(a^2 + 2ab + b^2) + (2ac + 2bc) + c^2$

Сгруппируем члены, чтобы получить стандартный вид многочлена:

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Это и есть формула квадрата трехчлена.

Для геометрической иллюстрации представим квадрат со стороной, равной $a + b + c$. Площадь этого квадрата равна $(a + b + c)^2$.

Разделим каждую сторону квадрата на три отрезка длиной $a$, $b$ и $c$. Проведя через точки деления прямые, параллельные сторонам квадрата, мы разобьем большой квадрат на 9 прямоугольников. Их площади:

• Один квадрат со стороной $a$ и площадью $a^2$.
• Один квадрат со стороной $b$ и площадью $b^2$.
• Один квадрат со стороной $c$ и площадью $c^2$.
• Два прямоугольника со сторонами $a$ и $b$, каждый площадью $ab$ (общая площадь $2ab$).
• Два прямоугольника со сторонами $a$ и $c$, каждый площадью $ac$ (общая площадь $2ac$).
• Два прямоугольника со сторонами $b$ и $c$, каждый площадью $bc$ (общая площадь $2bc$).

Сложив площади всех этих частей, мы получим площадь большого квадрата:

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Таким образом, мы геометрически подтвердили равенство.

Ответ: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$.

2) Используем полученную формулу $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$ для возведения в квадрат заданных выражений.

Для выражения $a - b + c$, представим его как $(a + (-b) + c)^2$. Здесь $x=a$, $y=-b$, $z=c$.

$(a + (-b) + c)^2 = a^2 + (-b)^2 + c^2 + 2a(-b) + 2ac + 2(-b)c = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$.

Для выражения $a - b - c$, представим его как $(a + (-b) + (-c))^2$. Здесь $x=a$, $y=-b$, $z=-c$.

$(a + (-b) + (-c))^2 = a^2 + (-b)^2 + (-c)^2 + 2a(-b) + 2a(-c) + 2(-b)(-c) = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$.

Ответ: $(a-b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$; $(a-b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc$.

3) Формула для квадрата трехчлена $(a+b+c)^2$ представляет собой сумму квадратов каждого из слагаемых ($a^2, b^2, c^2$) и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых ($2ab, 2ac, 2bc$).

По аналогии, формула для квадрата четырехчлена $(a+b+c+d)^2$ будет суммой квадратов всех четырех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар.

Квадраты слагаемых: $a^2, b^2, c^2, d^2$.

Пары слагаемых: $(a,b), (a,c), (a,d), (b,c), (b,d), (c,d)$. Их удвоенные произведения: $2ab, 2ac, 2ad, 2bc, 2bd, 2cd$.

Предполагаемая формула:

$(a+b+c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$.

Проверим эту формулу умножением, используя результат из п. 1. Сделаем замену $x = a+b+c$.

$(a+b+c+d)^2 = (x+d)^2 = x^2+2xd+d^2$

Подставим обратно $x = a+b+c$:

$(a+b+c)^2 + 2(a+b+c)d + d^2$

Используя формулу из п. 1 и раскрывая скобки, получаем:

$(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc) + (2ad+2bd+2cd) + d^2$

Перегруппировав члены, получаем то же самое выражение, что и при выводе по аналогии:

$a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$

Равенство записано верно.

Ответ: $(a+b+c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$.

4) Для возведения в квадрат выражения $a+b-c+d$ воспользуемся выведенной в п. 3 формулой.

Представим выражение в виде $(a+b+(-c)+d)^2$.

Применяем формулу для квадрата четырехчлена, где в качестве третьего слагаемого выступает $-c$:

$(a+b+(-c)+d)^2 = a^2 + b^2 + (-c)^2 + d^2 + 2ab + 2a(-c) + 2ad + 2b(-c) + 2bd + 2(-c)d$

Упростим выражение, раскрыв скобки и выполнив умножение:

$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab - 2ac + 2ad - 2bc + 2bd - 2cd$

Ответ: $(a+b-c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2+2ab-2ac+2ad-2bc+2bd-2cd$.