Номер 750, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 750, страница 209.

750 Представьте в виде квадрата двучлена:

a) $(2a + 3b)^2 - 8b(2a + b);$

б) $(3x - 2y)^2 + 5x(4y - x).$

а) Чтобы представить выражение $(2a + 3b)^2 - 8b(2a + b)$ в виде квадрата двучлена, необходимо сначала раскрыть скобки и упростить его.

1. Раскроем квадрат суммы $(2a + 3b)^2$, используя формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(2a + 3b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot (3b) + (3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2$.

2. Раскроем скобки во второй части выражения, умножив $-8b$ на каждый член в скобке $(2a + b)$:

$-8b(2a + b) = -8b \cdot 2a - 8b \cdot b = -16ab - 8b^2$.

3. Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:

$(4a^2 + 12ab + 9b^2) + (-16ab - 8b^2) = 4a^2 + 12ab + 9b^2 - 16ab - 8b^2$

$= 4a^2 + (12ab - 16ab) + (9b^2 - 8b^2) = 4a^2 - 4ab + b^2$.

4. Полученное выражение $4a^2 - 4ab + b^2$ представляет собой полный квадрат разности. Применим формулу $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.

Определим $x$ и $y$: $x^2 = 4a^2 \implies x = 2a$; $y^2 = b^2 \implies y = b$.

Проверим средний член: $-2xy = -2 \cdot (2a) \cdot b = -4ab$. Это совпадает со средним членом нашего выражения.

Следовательно, $4a^2 - 4ab + b^2 = (2a - b)^2$.

Ответ: $(2a - b)^2$.

б) Чтобы представить выражение $(3x - 2y)^2 + 5x(4y - x)$ в виде квадрата двучлена, также выполним раскрытие скобок и упрощение.

1. Раскроем квадрат разности $(3x - 2y)^2$, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3x - 2y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2$.

2. Раскроем скобки во второй части выражения, умножив $5x$ на каждый член в скобке $(4y - x)$:

$5x(4y - x) = 5x \cdot 4y - 5x \cdot x = 20xy - 5x^2$.

3. Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 - 12xy + 4y^2) + (20xy - 5x^2) = 9x^2 - 12xy + 4y^2 + 20xy - 5x^2$

$= (9x^2 - 5x^2) + (-12xy + 20xy) + 4y^2 = 4x^2 + 8xy + 4y^2$.

4. Полученное выражение $4x^2 + 8xy + 4y^2$ представляет собой полный квадрат суммы. Применим формулу $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

Определим $a$ и $b$: $a^2 = 4x^2 \implies a = 2x$; $b^2 = 4y^2 \implies b = 2y$.

Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (2x) \cdot (2y) = 8xy$. Это совпадает со средним членом нашего выражения.

Следовательно, $4x^2 + 8xy + 4y^2 = (2x + 2y)^2$.

Ответ: $(2x + 2y)^2$.