Номер 734, страница 208 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 734, страница 208.

734 Подберите такое k, чтобы трёхчлен был равен квадрату двучлена:

а) $a^2 - 2a + k;$

б) $x^2 + 6x + k;$

в) $m^2 + km + 16;$

г) $y^2 + ky + 25;$

д) $k - 6n + n^2;$

е) $k + 8ab + b^2.$

Для того чтобы трёхчлен был равен квадрату двучлена, он должен представлять собой полный квадрат, то есть соответствовать одной из формул сокращённого умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Используя эти формулы, подберем значение k для каждого случая.

а) $a^2 - 2a + k$

Этот трёхчлен похож на формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Сравним наш трёхчлен с формулой: Первый член $x^2 = a^2$, значит $x=a$. Удвоенное произведение первого и второго членов $2xy = 2a$. Подставляя $x=a$, получаем $2ay = 2a$, откуда $y=1$. Третий член $k$ должен быть равен квадрату второго члена, то есть $k = y^2$. Следовательно, $k = 1^2 = 1$. При $k=1$ получаем $a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.

Ответ: $k=1$.

б) $x^2 + 6x + k$

Этот трёхчлен похож на формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Сравним наш трёхчлен с формулой: Первый член $a^2 = x^2$, значит $a=x$. Удвоенное произведение первого и второго членов $2ab = 6x$. Подставляя $a=x$, получаем $2xb = 6x$, откуда $2b=6$ и $b=3$. Третий член $k$ должен быть равен квадрату второго члена, то есть $k = b^2$. Следовательно, $k = 3^2 = 9$. При $k=9$ получаем $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$.

Ответ: $k=9$.

в) $m^2 + km + 16$

Этот трёхчлен может быть как квадратом суммы, так и квадратом разности. Первый член $a^2 = m^2 \implies a=m$. Третий член $b^2 = 16 \implies b=4$. Средний член $km$ должен быть равен удвоенному произведению $\pm 2ab$. $km = \pm 2 \cdot m \cdot 4 = \pm 8m$. Отсюда $k = \pm 8$. Если $k=8$, то $m^2 + 8m + 16 = (m+4)^2$. Если $k=-8$, то $m^2 - 8m + 16 = (m-4)^2$.

Ответ: $k=8$ или $k=-8$.

г) $y^2 + ky + 25$

Этот случай аналогичен предыдущему. Первый член $a^2 = y^2 \implies a=y$. Третий член $b^2 = 25 \implies b=5$. Средний член $ky$ должен быть равен удвоенному произведению $\pm 2ab$. $ky = \pm 2 \cdot y \cdot 5 = \pm 10y$. Отсюда $k = \pm 10$. Если $k=10$, то $y^2 + 10y + 25 = (y+5)^2$. Если $k=-10$, то $y^2 - 10y + 25 = (y-5)^2$.

Ответ: $k=10$ или $k=-10$.

д) $k - 6n + n^2$

Перепишем выражение в стандартном виде: $n^2 - 6n + k$. Этот трёхчлен должен соответствовать формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Первый член $a^2 = n^2 \implies a=n$. Удвоенное произведение $2ab = 6n$. Подставляя $a=n$, получаем $2nb = 6n$, откуда $2b=6$ и $b=3$. Третий член $k$ должен быть равен квадрату второго члена, то есть $k = b^2$. Следовательно, $k = 3^2 = 9$. При $k=9$ получаем $9 - 6n + n^2$ или $n^2 - 6n + 9 = (n-3)^2$.

Ответ: $k=9$.

е) $k + 8ab + b^2$

Этот трёхчлен должен соответствовать формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Один из членов полного квадрата это $b^2$, значит, можно предположить, что $y^2 = b^2 \implies y=b$. Средний член, удвоенное произведение, равен $2xy = 8ab$. Подставим $y=b$: $2xb = 8ab$. Отсюда $2x = 8a$, и $x = 4a$. Первый член $k$ должен быть равен квадрату первого члена, то есть $k = x^2$. Следовательно, $k = (4a)^2 = 16a^2$. При $k=16a^2$ получаем $16a^2 + 8ab + b^2 = (4a+b)^2$.

Ответ: $k=16a^2$.