Номер 732, страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.5. Формулы квадрата суммы и квадрата разности. Глава 7. Многочлены - номер 732, страница 207.

732 Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

а) $a^2 + 2a + 1;$

б) $x^2 - 2x + 1;$

в) $y^2 + 10y + 25;$

г) $4 - 20c + 25c^2;$

д) $a^2 - 6ab + 9b^2;$

е) $4x^2 + 4xy + y^2;$

ж) $81z^2 - 18az + a^2;$

з) $9n^2 + 12mn + 4m^2;$

и) $a^2b^2 + 2ab + 1;$

к) $x^4 - 2x^2 + 1;$

л) $y^6 + 2y^3 + 1;$

м) $a^4 - 2a^2b + b^2.$

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:
Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а) $a^2 + 2a + 1$

Данный трехчлен соответствует формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = a^2$, откуда $x=a$.
$y^2 = 1$, откуда $y=1$.
Удвоенное произведение $2xy = 2 \cdot a \cdot 1 = 2a$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$.
Ответ: $(a+1)^2$.

б) $x^2 - 2x + 1$

Данный трехчлен соответствует формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = x^2$, откуда $x=x$.
$y^2 = 1$, откуда $y=1$.
Удвоенное произведение со знаком минус $-2xy = -2 \cdot x \cdot 1 = -2x$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.
Ответ: $(x-1)^2$.

в) $y^2 + 10y + 25$

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = y^2$, откуда $x=y$.
$y^2 = 25$, откуда $y=5$.
Удвоенное произведение $2xy = 2 \cdot y \cdot 5 = 10y$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $y^2 + 10y + 25 = (y+5)^2$.
Ответ: $(y+5)^2$.

г) $4 - 20c + 25c^2$

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = 4$, откуда $x=2$.
$y^2 = 25c^2$, откуда $y=5c$.
Удвоенное произведение со знаком минус $-2xy = -2 \cdot 2 \cdot 5c = -20c$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $4 - 20c + 25c^2 = (2-5c)^2$.
Ответ: $(2-5c)^2$.

д) $a^2 - 6ab + 9b^2$

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = a^2$, откуда $x=a$.
$y^2 = 9b^2$, откуда $y=3b$.
Удвоенное произведение со знаком минус $-2xy = -2 \cdot a \cdot 3b = -6ab$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $a^2 - 6ab + 9b^2 = (a-3b)^2$.
Ответ: $(a-3b)^2$.

е) $4x^2 + 4xy + y^2$

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь первый член $a^2 = 4x^2 = (2x)^2$, откуда $a=2x$.
Третий член $b^2 = y^2$, откуда $b=y$.
Удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot 2x \cdot y = 4xy$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $4x^2 + 4xy + y^2 = (2x+y)^2$.
Ответ: $(2x+y)^2$.

ж) $81z^2 - 18az + a^2$

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = 81z^2$, откуда $x=9z$.
$y^2 = a^2$, откуда $y=a$.
Удвоенное произведение со знаком минус $-2xy = -2 \cdot 9z \cdot a = -18az$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $81z^2 - 18az + a^2 = (9z-a)^2$.
Ответ: $(9z-a)^2$.

з) $9n^2 + 12mn + 4m^2$

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = 9n^2$, откуда $a=3n$.
$b^2 = 4m^2$, откуда $b=2m$.
Удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot 3n \cdot 2m = 12mn$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $9n^2 + 12mn + 4m^2 = (3n+2m)^2$.
Ответ: $(3n+2m)^2$.

и) $a^2b^2 + 2ab + 1$

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = a^2b^2 = (ab)^2$, откуда $x=ab$.
$y^2 = 1$, откуда $y=1$.
Удвоенное произведение $2xy = 2 \cdot ab \cdot 1 = 2ab$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $a^2b^2 + 2ab + 1 = (ab+1)^2$.
Ответ: $(ab+1)^2$.

к) $x^4 - 2x^2 + 1$

Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = x^4 = (x^2)^2$, откуда $a=x^2$.
$b^2 = 1$, откуда $b=1$.
Удвоенное произведение со знаком минус $-2ab = -2 \cdot x^2 \cdot 1 = -2x^2$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2-1)^2$.
Ответ: $(x^2-1)^2$.

л) $y^6 + 2y^3 + 1$

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = y^6 = (y^3)^2$, откуда $a=y^3$.
$b^2 = 1$, откуда $b=1$.
Удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot y^3 \cdot 1 = 2y^3$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $y^6 + 2y^3 + 1 = (y^3+1)^2$.
Ответ: $(y^3+1)^2$.

м) $a^4 - 2a^2b + b^2$

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = a^4 = (a^2)^2$, откуда $x=a^2$.
$y^2 = b^2$, откуда $y=b$.
Удвоенное произведение со знаком минус $-2xy = -2 \cdot a^2 \cdot b = -2a^2b$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $a^4 - 2a^2b + b^2 = (a^2-b)^2$.
Ответ: $(a^2-b)^2$.