Страница 207 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

726 Запишите выражение в виде трёхчлена, пользуясь нужной формулой:

а) $ (t + v)^2 $;

б) $ (m - n)^2 $;

в) $ (p + 1)^2 $;

г) $ (y - 2)^2 $;

д) $ (c - x)^2 $;

е) $ (3 + a)^2 $;

ж) $ (z - 5)^2 $;

з) $ (b + 6)^2 $.

Для решения данного задания используются формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

а) Для выражения $(t + v)^2$ используем формулу квадрата суммы, где $a=t$ и $b=v$.
$(t + v)^2 = t^2 + 2 \cdot t \cdot v + v^2 = t^2 + 2tv + v^2$.
Ответ: $t^2 + 2tv + v^2$.

б) Для выражения $(m - n)^2$ используем формулу квадрата разности, где $a=m$ и $b=n$.
$(m - n)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot n + n^2 = m^2 - 2mn + n^2$.
Ответ: $m^2 - 2mn + n^2$.

в) Для выражения $(p + 1)^2$ используем формулу квадрата суммы, где $a=p$ и $b=1$.
$(p + 1)^2 = p^2 + 2 \cdot p \cdot 1 + 1^2 = p^2 + 2p + 1$.
Ответ: $p^2 + 2p + 1$.

г) Для выражения $(y - 2)^2$ используем формулу квадрата разности, где $a=y$ и $b=2$.
$(y - 2)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = y^2 - 4y + 4$.
Ответ: $y^2 - 4y + 4$.

д) Для выражения $(c - x)^2$ используем формулу квадрата разности, где $a=c$ и $b=x$.
$(c - x)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot x + x^2 = c^2 - 2cx + x^2$.
Ответ: $c^2 - 2cx + x^2$.

е) Для выражения $(3 + a)^2$ используем формулу квадрата суммы, где $a=3$ и $b=a$.
$(3 + a)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot a + a^2 = 9 + 6a + a^2$.
Для стандартного вида запишем в порядке убывания степеней: $a^2 + 6a + 9$.
Ответ: $a^2 + 6a + 9$.

ж) Для выражения $(z - 5)^2$ используем формулу квадрата разности, где $a=z$ и $b=5$.
$(z - 5)^2 = z^2 - 2 \cdot z \cdot 5 + 5^2 = z^2 - 10z + 25$.
Ответ: $z^2 - 10z + 25$.

з) Для выражения $(b + 6)^2$ используем формулу квадрата суммы, где $a=b$ и $b=6$.
$(b + 6)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 6 + 6^2 = b^2 + 12b + 36$.
Ответ: $b^2 + 12b + 36$.

727 Представьте квадрат двучлена в виде трёхчлена:

а) $(2x - 1)^2$;

б) $(5y + 1)^2$;

в) $(4z - 3)^2$;

г) $(3a + 2)^2$;

д) $(4 - 2b)^2$;

е) $(3 + 6c)^2$;

ж) $(1 - 2k)^2$;

з) $(5 + 3t)^2$.

Для решения этой задачи необходимо использовать формулы сокращённого умножения для квадрата суммы и квадрата разности.

1. Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

2. Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

а) Чтобы представить $(2x - 1)^2$ в виде трёхчлена, применим формулу квадрата разности. В этом выражении $a = 2x$ и $b = 1$.

$(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$.

Ответ: $4x^2 - 4x + 1$.

б) Чтобы представить $(5y + 1)^2$ в виде трёхчлена, применим формулу квадрата суммы. В этом выражении $a = 5y$ и $b = 1$.

$(5y + 1)^2 = (5y)^2 + 2 \cdot (5y) \cdot 1 + 1^2 = 25y^2 + 10y + 1$.

Ответ: $25y^2 + 10y + 1$.

в) Чтобы представить $(4z - 3)^2$ в виде трёхчлена, применим формулу квадрата разности. В этом выражении $a = 4z$ и $b = 3$.

$(4z - 3)^2 = (4z)^2 - 2 \cdot (4z) \cdot 3 + 3^2 = 16z^2 - 24z + 9$.

Ответ: $16z^2 - 24z + 9$.

г) Чтобы представить $(3a + 2)^2$ в виде трёхчлена, применим формулу квадрата суммы. В этом выражении $a = 3a$ и $b = 2$.

$(3a + 2)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot (3a) \cdot 2 + 2^2 = 9a^2 + 12a + 4$.

Ответ: $9a^2 + 12a + 4$.

д) Чтобы представить $(4 - 2b)^2$ в виде трёхчлена, применим формулу квадрата разности. В этом выражении $a = 4$ и $b = 2b$.

$(4 - 2b)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot (2b) + (2b)^2 = 16 - 16b + 4b^2$.

Ответ: $16 - 16b + 4b^2$.

е) Чтобы представить $(3 + 6c)^2$ в виде трёхчлена, применим формулу квадрата суммы. В этом выражении $a = 3$ и $b = 6c$.

$(3 + 6c)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot (6c) + (6c)^2 = 9 + 36c + 36c^2$.

Ответ: $9 + 36c + 36c^2$.

ж) Чтобы представить $(1 - 2k)^2$ в виде трёхчлена, применим формулу квадрата разности. В этом выражении $a = 1$ и $b = 2k$.

$(1 - 2k)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (2k) + (2k)^2 = 1 - 4k + 4k^2$.

Ответ: $1 - 4k + 4k^2$.

з) Чтобы представить $(5 + 3t)^2$ в виде трёхчлена, применим формулу квадрата суммы. В этом выражении $a = 5$ и $b = 3t$.

$(5 + 3t)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot (3t) + (3t)^2 = 25 + 30t + 9t^2$.

Ответ: $25 + 30t + 9t^2$.

728 Выполните возведение в квадрат:

а) $(2x + 3y)^2$;

б) $(3a - 2b)^2$;

в) $(4u - 3t)^2$;

г) $\left(2m + \frac{1}{2}n\right)^2$;

д) $(ab + 2)^2$;

е) $\left(x - \frac{1}{x}\right)^2$;

ж) $(1 - xz)^2$;

з) $\left(y + \frac{1}{y}\right)^2$.

Для выполнения возведения в квадрат используются формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

а) Для выражения $(2x + 3y)^2$ применяем формулу квадрата суммы, где $a=2x$ и $b=3y$:
$(2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$
Ответ: $4x^2 + 12xy + 9y^2$

б) Для выражения $(3a - 2b)^2$ применяем формулу квадрата разности, где $a=3a$ и $b=2b$:
$(3a - 2b)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot (2b) + (2b)^2 = 9a^2 - 12ab + 4b^2$
Ответ: $9a^2 - 12ab + 4b^2$

в) Для выражения $(4u - 3t)^2$ применяем формулу квадрата разности, где $a=4u$ и $b=3t$:
$(4u - 3t)^2 = (4u)^2 - 2 \cdot (4u) \cdot (3t) + (3t)^2 = 16u^2 - 24ut + 9t^2$
Ответ: $16u^2 - 24ut + 9t^2$

г) Для выражения $(2m + \frac{1}{2}n)^2$ применяем формулу квадрата суммы, где $a=2m$ и $b=\frac{1}{2}n$:
$(2m + \frac{1}{2}n)^2 = (2m)^2 + 2 \cdot (2m) \cdot (\frac{1}{2}n) + (\frac{1}{2}n)^2 = 4m^2 + 2mn + \frac{1}{4}n^2$
Ответ: $4m^2 + 2mn + \frac{1}{4}n^2$

д) Для выражения $(ab + 2)^2$ применяем формулу квадрата суммы, где $a=ab$ и $b=2$:
$(ab + 2)^2 = (ab)^2 + 2 \cdot (ab) \cdot 2 + 2^2 = a^2b^2 + 4ab + 4$
Ответ: $a^2b^2 + 4ab + 4$

е) Для выражения $(x - \frac{1}{x})^2$ применяем формулу квадрата разности, где $a=x$ и $b=\frac{1}{x}$:
$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$
Ответ: $x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

ж) Для выражения $(1 - xz)^2$ применяем формулу квадрата разности, где $a=1$ и $b=xz$:
$(1 - xz)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (xz) + (xz)^2 = 1 - 2xz + x^2z^2$
Ответ: $1 - 2xz + x^2z^2$

з) Для выражения $(y + \frac{1}{y})^2$ применяем формулу квадрата суммы, где $a=y$ и $b=\frac{1}{y}$:
$(y + \frac{1}{y})^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{1}{y} + (\frac{1}{y})^2 = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2}$
Ответ: $y^2 + 2 + \frac{1}{y^2}$

729 Преобразуйте в многочлен:

а) $(x^2 + 3)^2$

б) $(a^2 - 2)^2$

в) $(1 - m^3)^2$

г) $(5 + c^3)^2$

д) $(2y^2 - 3x^2)^2$

е) $(x^2y^2 + 1)^2$

Для решения данных задач мы будем использовать формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и квадрат разности.

• Формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

а)

Для преобразования выражения $(x^2 + 3)^2$ в многочлен, воспользуемся формулой квадрата суммы. В данном случае, $a = x^2$ и $b = 3$.

Подставляем эти значения в формулу:

$(x^2 + 3)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 3 + 3^2 = x^4 + 6x^2 + 9$.

Ответ: $x^4 + 6x^2 + 9$.

б)

Чтобы преобразовать выражение $(a^2 - 2)^2$ в многочлен, используем формулу квадрата разности. Здесь $a = a^2$ и $b = 2$.

Применяем формулу:

$(a^2 - 2)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 2 + 2^2 = a^4 - 4a^2 + 4$.

Ответ: $a^4 - 4a^2 + 4$.

в)

Преобразуем выражение $(1 - m^3)^2$ по формуле квадрата разности. В этом выражении $a = 1$ и $b = m^3$.

Подставляем в формулу:

$(1 - m^3)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot m^3 + (m^3)^2 = 1 - 2m^3 + m^6$.

Для удобства можно записать многочлен в стандартном виде, расположив члены в порядке убывания степеней: $m^6 - 2m^3 + 1$.

Ответ: $1 - 2m^3 + m^6$.

г)

Чтобы преобразовать $(5 + c^3)^2$, применяем формулу квадрата суммы. В данном случае $a = 5$ и $b = c^3$.

Выполняем преобразование:

$(5 + c^3)^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot c^3 + (c^3)^2 = 25 + 10c^3 + c^6$.

В стандартном виде: $c^6 + 10c^3 + 25$.

Ответ: $25 + 10c^3 + c^6$.

д)

Для преобразования выражения $(2y^2 - 3x^2)^2$ в многочлен, воспользуемся формулой квадрата разности. Здесь $a = 2y^2$ и $b = 3x^2$.

Подставляем значения в формулу:

$(2y^2 - 3x^2)^2 = (2y^2)^2 - 2 \cdot (2y^2) \cdot (3x^2) + (3x^2)^2$.

Выполняем вычисления:

$(2y^2)^2 = 4y^4$

$2 \cdot (2y^2) \cdot (3x^2) = 12x^2y^2$

$(3x^2)^2 = 9x^4$

Собираем многочлен: $4y^4 - 12x^2y^2 + 9x^4$.

Ответ: $4y^4 - 12x^2y^2 + 9x^4$.

е)

Преобразуем выражение $(x^2y^2 + 1)^2$, используя формулу квадрата суммы. В этом выражении $a = x^2y^2$ и $b = 1$.

Применяем формулу:

$(x^2y^2 + 1)^2 = (x^2y^2)^2 + 2 \cdot (x^2y^2) \cdot 1 + 1^2 = x^{2\cdot2}y^{2\cdot2} + 2x^2y^2 + 1 = x^4y^4 + 2x^2y^2 + 1$.

Ответ: $x^4y^4 + 2x^2y^2 + 1$.

730 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

a) $(a-b)^2 = (b-a)^2$;

б) $(x+y)^2 = (-x-y)^2$.

а) Чтобы доказать тождество $(a-b)^2 = (b-a)^2$, преобразуем правую часть равенства. В выражении, стоящем в скобках, вынесем за скобки множитель $-1$:
$b - a = -1 \cdot (-b + a) = -(a - b)$
Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в правую часть исходного тождества:
$(b-a)^2 = (-(a-b))^2$
Используем свойство степени, согласно которому $(xy)^n = x^n y^n$. В нашем случае $x=-1$, $y=(a-b)$ и $n=2$:
$(-(a-b))^2 = (-1)^2 \cdot (a-b)^2$
Так как $(-1)^2 = 1$, получаем:
$1 \cdot (a-b)^2 = (a-b)^2$
Мы преобразовали правую часть равенства и получили выражение, в точности равное левой части. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество $(a-b)^2 = (b-a)^2$ доказано.

б) Чтобы доказать тождество $(x+y)^2 = (-x-y)^2$, преобразуем правую часть равенства. В выражении $(-x-y)$ вынесем за скобки общий множитель $-1$:
$-x - y = -1 \cdot (x + y) = -(x + y)$
Подставим это выражение в правую часть исходного тождества:
$(-x-y)^2 = (-(x+y))^2$
Воспользуемся свойством степени $(xy)^n = x^n y^n$:
$(-(x+y))^2 = (-1)^2 \cdot (x+y)^2$
Поскольку $(-1)^2 = 1$, выражение упрощается до:
$1 \cdot (x+y)^2 = (x+y)^2$
В результате преобразования правая часть стала равна левой, что и доказывает истинность тождества.
Ответ: Тождество $(x+y)^2 = (-x-y)^2$ доказано.

731 Применяем алгебру

С использованием формулы квадрата суммы или квадрата разности можно в некоторых случаях легко выполнять возведение в квадрат чисел без умножения столбиком и без калькулятора. Например:

$71^2 = (70 + 1)^2 = 70^2 + 2 \cdot 70 \cdot 1 + 1^2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;$

$59^2 = (60 - 1)^2 = 3600 - 120 + 1 = 3481.$

Вычислите таким же способом: а) $52^2$; б) $98^2$; в) $(9\frac{1}{2})^2$; г) $(9\frac{9}{10})^2$.

а) Для вычисления $52^2$ представим это число как сумму $50 + 2$ и применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$52^2 = (50 + 2)^2 = 50^2 + 2 \cdot 50 \cdot 2 + 2^2 = 2500 + 200 + 4 = 2704$.
Ответ: $2704$.

б) Для вычисления $98^2$ представим это число как разность $100 - 2$ и применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$98^2 = (100 - 2)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9600 + 4 = 9604$.
Ответ: $9604$.

в) Для вычисления $(9\frac{1}{2})^2$ представим смешанное число как сумму $9 + \frac{1}{2}$ и применим формулу квадрата суммы:
$(9\frac{1}{2})^2 = (9 + \frac{1}{2})^2 = 9^2 + 2 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = 81 + 9 + \frac{1}{4} = 90\frac{1}{4}$.
Ответ: $90\frac{1}{4}$.

г) Для вычисления $(9\frac{9}{10})^2$ представим смешанное число как разность $10 - \frac{1}{10}$ и применим формулу квадрата разности:
$(9\frac{9}{10})^2 = (10 - \frac{1}{10})^2 = 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot \frac{1}{10} + (\frac{1}{10})^2 = 100 - 2 + \frac{1}{100} = 98\frac{1}{100}$.
Ответ: $98\frac{1}{100}$.

732 Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

а) $a^2 + 2a + 1;$

б) $x^2 - 2x + 1;$

в) $y^2 + 10y + 25;$

г) $4 - 20c + 25c^2;$

д) $a^2 - 6ab + 9b^2;$

е) $4x^2 + 4xy + y^2;$

ж) $81z^2 - 18az + a^2;$

з) $9n^2 + 12mn + 4m^2;$

и) $a^2b^2 + 2ab + 1;$

к) $x^4 - 2x^2 + 1;$

л) $y^6 + 2y^3 + 1;$

м) $a^4 - 2a^2b + b^2.$

а) $a^2 + 2a + 1$

Данный трехчлен соответствует формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = a^2$, откуда $x=a$.
$y^2 = 1$, откуда $y=1$.
Удвоенное произведение $2xy = 2 \cdot a \cdot 1 = 2a$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$.
Ответ: $(a+1)^2$.

б) $x^2 - 2x + 1$

Данный трехчлен соответствует формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = x^2$, откуда $x=x$.
$y^2 = 1$, откуда $y=1$.
Удвоенное произведение со знаком минус $-2xy = -2 \cdot x \cdot 1 = -2x$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.
Ответ: $(x-1)^2$.

в) $y^2 + 10y + 25$

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = y^2$, откуда $x=y$.
$y^2 = 25$, откуда $y=5$.
Удвоенное произведение $2xy = 2 \cdot y \cdot 5 = 10y$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $y^2 + 10y + 25 = (y+5)^2$.
Ответ: $(y+5)^2$.

г) $4 - 20c + 25c^2$

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = 4$, откуда $x=2$.
$y^2 = 25c^2$, откуда $y=5c$.
Удвоенное произведение со знаком минус $-2xy = -2 \cdot 2 \cdot 5c = -20c$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $4 - 20c + 25c^2 = (2-5c)^2$.
Ответ: $(2-5c)^2$.

д) $a^2 - 6ab + 9b^2$

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = a^2$, откуда $x=a$.
$y^2 = 9b^2$, откуда $y=3b$.
Удвоенное произведение со знаком минус $-2xy = -2 \cdot a \cdot 3b = -6ab$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $a^2 - 6ab + 9b^2 = (a-3b)^2$.
Ответ: $(a-3b)^2$.

е) $4x^2 + 4xy + y^2$

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь первый член $a^2 = 4x^2 = (2x)^2$, откуда $a=2x$.
Третий член $b^2 = y^2$, откуда $b=y$.
Удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot 2x \cdot y = 4xy$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $4x^2 + 4xy + y^2 = (2x+y)^2$.
Ответ: $(2x+y)^2$.

ж) $81z^2 - 18az + a^2$

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = 81z^2$, откуда $x=9z$.
$y^2 = a^2$, откуда $y=a$.
Удвоенное произведение со знаком минус $-2xy = -2 \cdot 9z \cdot a = -18az$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $81z^2 - 18az + a^2 = (9z-a)^2$.
Ответ: $(9z-a)^2$.

з) $9n^2 + 12mn + 4m^2$

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = 9n^2$, откуда $a=3n$.
$b^2 = 4m^2$, откуда $b=2m$.
Удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot 3n \cdot 2m = 12mn$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $9n^2 + 12mn + 4m^2 = (3n+2m)^2$.
Ответ: $(3n+2m)^2$.

и) $a^2b^2 + 2ab + 1$

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = a^2b^2 = (ab)^2$, откуда $x=ab$.
$y^2 = 1$, откуда $y=1$.
Удвоенное произведение $2xy = 2 \cdot ab \cdot 1 = 2ab$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $a^2b^2 + 2ab + 1 = (ab+1)^2$.
Ответ: $(ab+1)^2$.

к) $x^4 - 2x^2 + 1$

Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = x^4 = (x^2)^2$, откуда $a=x^2$.
$b^2 = 1$, откуда $b=1$.
Удвоенное произведение со знаком минус $-2ab = -2 \cdot x^2 \cdot 1 = -2x^2$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2-1)^2$.
Ответ: $(x^2-1)^2$.

л) $y^6 + 2y^3 + 1$

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = y^6 = (y^3)^2$, откуда $a=y^3$.
$b^2 = 1$, откуда $b=1$.
Удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot y^3 \cdot 1 = 2y^3$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $y^6 + 2y^3 + 1 = (y^3+1)^2$.
Ответ: $(y^3+1)^2$.

м) $a^4 - 2a^2b + b^2$

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x^2 = a^4 = (a^2)^2$, откуда $x=a^2$.
$y^2 = b^2$, откуда $y=b$.
Удвоенное произведение со знаком минус $-2xy = -2 \cdot a^2 \cdot b = -2a^2b$, что совпадает со вторым членом трехчлена.
Следовательно, $a^4 - 2a^2b + b^2 = (a^2-b)^2$.
Ответ: $(a^2-b)^2$.

РАССУЖДАЕМ (733–734)

733 Заполните пропуски:

а) $(2x + ...)^2 = ... + ... + y^2;$

б) $(3y - ...)^2 = ... - 24y + ...;$

в) $(... + 2m)^2 = 4n^2 + ... + ...;$

г) $(... - ...)^2 = a^2 - ... + 9.$

а) Для того, чтобы заполнить пропуски в выражении $(2x + ...)^2 = ... + ... + y^2$, мы будем использовать формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае, первый член в скобках $a = 2x$. Из правой части равенства мы видим, что квадрат второго члена равен $y^2$, следовательно, второй член в скобках $b = y$. Теперь, зная оба члена, мы можем найти пропущенные части в разложении: Первый пропуск - это квадрат первого члена: $a^2 = (2x)^2 = 4x^2$. Второй пропуск - это удвоенное произведение первого и второго членов: $2ab = 2 \cdot (2x) \cdot y = 4xy$. Таким образом, полностью заполненное равенство выглядит так: $(2x + y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$.
Ответ: $(2x + y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$.

б) В выражении $(3y - ...)^2 = ... - 24y + ...$ применяется формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Первый член в скобках $a = 3y$. В разложении нам известен средний член, который равен удвоенному произведению членов со знаком минус: $-2ab = -24y$. Подставим известное значение $a$: $-2 \cdot (3y) \cdot b = -24y$. Упростим: $-6yb = -24y$. Отсюда находим второй член в скобках: $b = \frac{-24y}{-6y} = 4$. Теперь мы можем найти оставшиеся пропуски в правой части равенства: Первый пропуск - это квадрат первого члена: $a^2 = (3y)^2 = 9y^2$. Третий пропуск - это квадрат второго члена: $b^2 = 4^2 = 16$. Полное равенство: $(3y - 4)^2 = 9y^2 - 24y + 16$.
Ответ: $(3y - 4)^2 = 9y^2 - 24y + 16$.

в) В выражении $(... + 2m)^2 = 4n^2 + ... + ...$ снова используется формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Второй член в скобках нам известен: $b = 2m$. Из правой части равенства мы видим, что квадрат первого члена $a^2 = 4n^2$. Отсюда находим первый член в скобках: $a = \sqrt{4n^2} = 2n$. Теперь, когда мы знаем оба члена в скобках $(2n + 2m)$, мы можем найти пропущенные члены в разложении: Средний член (удвоенное произведение): $2ab = 2 \cdot (2n) \cdot (2m) = 8nm$. Последний член (квадрат второго члена): $b^2 = (2m)^2 = 4m^2$. Полное равенство: $(2n + 2m)^2 = 4n^2 + 8nm + 4m^2$.
Ответ: $(2n + 2m)^2 = 4n^2 + 8nm + 4m^2$.

г) Для выражения $(... - ...)^2 = a^2 - ... + 9$ используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Из правой части равенства мы можем определить члены в скобках. Квадрат первого члена $x^2 = a^2$, значит, первый член в скобках $x = a$. Квадрат второго члена $y^2 = 9$, значит, второй член в скобках $y = 3$. Теперь мы знаем выражение в скобках: $(a - 3)$. Осталось найти пропущенный средний член в разложении, который равен удвоенному произведению со знаком минус: $-2xy = -2 \cdot a \cdot 3 = -6a$. Полное равенство: $(a - 3)^2 = a^2 - 6a + 9$.
Ответ: $(a - 3)^2 = a^2 - 6a + 9$.