Страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Запишите формулы квадрата суммы и квадрата разности. В каждом случае дайте словесную формулировку формулы. Представьте в виде трёхчлена:

а) $(x + y)^2$

б) $(x - y)^2$

Формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Словесная формулировка: Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Словесная формулировка: Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

а) Для того чтобы представить выражение $(x + y)^2$ в виде трёхчлена, воспользуемся формулой квадрата суммы. В данном случае $a = x$ и $b = y$.

$(x + y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot y + y^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Ответ: $x^2 + 2xy + y^2$.

б) Для того чтобы представить выражение $(x - y)^2$ в виде трёхчлена, воспользуемся формулой квадрата разности. В данном случае $a = x$ и $b = y$.

$(x - y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot y + y^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Ответ: $x^2 - 2xy + y^2$.

Докажите формулу:

а) квадрата суммы;

б) квадрата разности.

а) квадрата суммы

Формула квадрата суммы двух выражений $a$ и $b$ — это одна из формул сокращённого умножения, которая имеет вид: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Её нужно доказать, то есть показать, что левая и правая части тождественно равны.

Алгебраическое доказательство

По определению степени, квадрат выражения равен произведению этого выражения на само себя. Запишем это для суммы $(a+b)$:

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$

Теперь раскроем скобки, используя распределительный закон умножения (умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго):

$(a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b$

Так как от перестановки множителей произведение не меняется (коммутативный закон), то $b \cdot a = a \cdot b$. Мы можем привести подобные слагаемые:

$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, мы доказали тождество: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Геометрическое доказательство

Рассмотрим квадрат, длина стороны которого равна $(a+b)$. Его площадь, очевидно, равна $S = (a+b)^2$. Разделим каждую сторону этого квадрата на два отрезка длиной $a$ и $b$. Затем проведём через точки деления линии, параллельные сторонам квадрата. Это разделит наш большой квадрат на четыре меньшие фигуры: квадрат со стороной $a$ (и площадью $a^2$), квадрат со стороной $b$ (и площадью $b^2$), а также два одинаковых прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ (площадь каждого из которых равна $ab$).

Общая площадь большого квадрата равна сумме площадей этих четырёх фигур:

$S = a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$

Поскольку мы двумя разными способами вычислили площадь одного и того же квадрата, мы можем приравнять полученные выражения. Следовательно, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

б) квадрата разности

Формула квадрата разности двух выражений $a$ и $b$ имеет вид: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Докажем её.

Алгебраическое доказательство

Аналогично предыдущему пункту, представим квадрат разности как произведение двух одинаковых скобок:

$(a-b)^2 = (a-b)(a-b)$

Раскроем скобки, внимательно следя за знаками:

$(a-b)(a-b) = a \cdot a + a \cdot (-b) + (-b) \cdot a + (-b) \cdot (-b)$

Выполним умножение:

$a^2 - ab - ba + b^2$

Приведём подобные слагаемые, учитывая, что $ab = ba$:

$a^2 - 2ab + b^2$

Таким образом, мы доказали тождество: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Доказательство через формулу квадрата суммы

Этот способ основан на уже доказанной формуле для квадрата суммы. Представим разность $(a-b)$ как сумму $a + (-b)$ и применим к ней формулу квадрата суммы:

$(a-b)^2 = (a + (-b))^2$

Используя формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где в нашем случае $x=a$ и $y=-b$, получаем:

$a^2 + 2 \cdot a \cdot (-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Мы снова пришли к искомой формуле, что подтверждает её верность.

Ответ: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Преобразуйте в трёхчлен выражение, взяв за образец пример 1 или при-мер 2:

a) $ (2a + 3b)^2 $;

б) $ (3a - 4)^2 $.

Для преобразования данных выражений в трёхчлен используются формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности.

Формула квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Формула квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

а)

Чтобы преобразовать выражение $(2a + 3b)^2$, мы применим формулу квадрата суммы. В этой формуле $x$ соответствует $2a$, а $y$ соответствует $3b$.

1. Возводим в квадрат первое слагаемое: $(2a)^2 = 2^2 \cdot a^2 = 4a^2$.

2. Находим удвоенное произведение первого и второго слагаемых: $2 \cdot (2a) \cdot (3b) = 12ab$.

3. Возводим в квадрат второе слагаемое: $(3b)^2 = 3^2 \cdot b^2 = 9b^2$.

Теперь сложим полученные результаты, чтобы получить итоговый трёхчлен:

$(2a + 3b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot (3b) + (3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2$.

Ответ: $4a^2 + 12ab + 9b^2$

б)

Для преобразования выражения $(3a - 4)^2$ мы воспользуемся формулой квадрата разности. Здесь $x$ равно $3a$, а $y$ равно $4$.

1. Возводим в квадрат уменьшаемое: $(3a)^2 = 3^2 \cdot a^2 = 9a^2$.

2. Находим удвоенное произведение уменьшаемого и вычитаемого: $2 \cdot (3a) \cdot 4 = 24a$.

3. Возводим в квадрат вычитаемое: $4^2 = 16$.

Запишем итоговый трёхчлен, вычитая удвоенное произведение и прибавляя квадрат второго члена:

$(3a - 4)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot 4 + 4^2 = 9a^2 - 24a + 16$.

Ответ: $9a^2 - 24a + 16$

Можно ли представить в виде квадрата суммы или разности трёхчлен:

а) $x^2 - 6x + 4$;

б) $a^2 + 6a + 9$;

в) $m^2 - 4m + 2?

Для того чтобы определить, можно ли представить трёхчлен в виде квадрата суммы или разности, нужно проверить, соответствует ли он одной из формул сокращённого умножения:

• Квадрат суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$
• Квадрат разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

Проанализируем каждый трёхчлен отдельно.

а) $x^2 - 6x + 4$

Попытаемся представить этот трёхчлен в виде квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

В данном выражении первый член $x^2$ может быть $A^2$, тогда $A = x$. Третий член $4$ может быть $B^2$, тогда $B = 2$.

Теперь проверим, равен ли средний член (без учёта знака) удвоенному произведению $A$ и $B$.

$2AB = 2 \cdot x \cdot 2 = 4x$.

В исходном трёхчлене средний член равен $6x$. Поскольку $4x \neq 6x$, данное выражение не является полным квадратом разности.

Ответ: нет, нельзя.

б) $a^2 + 6a + 9$

Попытаемся представить этот трёхчлен в виде квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

В данном выражении первый член $a^2$ может быть $A^2$, тогда $A = a$. Третий член $9$ может быть $B^2$, тогда $B = 3$.

Проверим, равен ли средний член удвоенному произведению $A$ и $B$.

$2AB = 2 \cdot a \cdot 3 = 6a$.

Средний член в исходном трёхчлене также равен $6a$. Все условия формулы выполнены. Следовательно, данный трёхчлен можно представить в виде квадрата суммы.

$a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2$.

Ответ: да, можно. Это $(a+3)^2$.

в) $m^2 - 4m + 2$

Попытаемся представить этот трёхчлен в виде квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

В данном выражении первый член $m^2$ может быть $A^2$, тогда $A = m$.

Исходя из среднего члена $4m$, который должен быть равен $2AB$, получаем: $2 \cdot m \cdot B = 4m$, откуда $B=2$.

Тогда третий член по формуле должен быть равен $B^2 = 2^2 = 4$.

В исходном трёхчлене третий член равен $2$. Поскольку $2 \neq 4$, данное выражение не является полным квадратом разности.

Ответ: нет, нельзя.

725 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ Запишите следующие выражения:

а) квадрат суммы x и y: $(x+y)^2$

б) сумма квадратов m и n: $m^2 + n^2$

в) квадрат разности m и 3: $(m-3)^2$

г) разность квадратов a и c: $a^2 - c^2$

д) куб суммы y и z: $(y+z)^3$

е) квадрат суммы a, b и c: $(a+b+c)^2$

ж) куб суммы m, n и 1: $(m+n+1)^3$

з) разность кубов x и z: $x^3 - z^3$

а) Чтобы записать "квадрат суммы x и y", мы сначала находим сумму чисел $x$ и $y$, что записывается как $x+y$. Затем мы возводим эту сумму в квадрат, используя скобки для указания порядка действий. Таким образом, итоговое выражение имеет вид $(x+y)^2$.
Ответ: $(x+y)^2$

б) "Сумма квадратов m и n" означает, что нужно сначала возвести в квадрат каждое из чисел по отдельности, получив $m^2$ и $n^2$, а затем сложить эти результаты. В отличие от предыдущего пункта, скобки здесь не нужны. Выражение будет выглядеть как $m^2+n^2$.
Ответ: $m^2+n^2$

в) "Квадрат разности m и 3" требует сначала найти разность чисел $m$ и $3$, то есть $m-3$. После этого полученную разность необходимо возвести в квадрат, заключив ее в скобки. Итоговое выражение: $(m-3)^2$.
Ответ: $(m-3)^2$

г) "Разность квадратов a и c" означает, что мы сначала находим квадраты каждого из чисел, $a^2$ и $c^2$, а затем вычитаем второй квадрат из первого. В результате получаем выражение $a^2-c^2$.
Ответ: $a^2-c^2$

д) "Куб суммы y и z" записывается аналогично квадрату суммы. Сначала находим сумму $y+z$, а затем возводим ее в третью степень (в куб). Для этого обязательно используем скобки. Получаем выражение: $(y+z)^3$.
Ответ: $(y+z)^3$

е) "Квадрат суммы a, b и c" означает, что нужно найти сумму трех чисел $a+b+c$ и затем возвести всю эту сумму в квадрат. Выражение будет $(a+b+c)^2$.
Ответ: $(a+b+c)^2$

ж) "Куб суммы m, n и 1" означает, что мы сначала складываем все три слагаемых, $m+n+1$, а затем возводим полученную сумму в куб. Выражение записывается как $(m+n+1)^3$.
Ответ: $(m+n+1)^3$

з) "Разность кубов x и z" означает, что нужно сначала возвести каждое число в куб, получив $x^3$ и $z^3$, а затем найти их разность (вычесть второе из первого). Итоговое выражение: $x^3-z^3$.
Ответ: $x^3-z^3$