Страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

689 Составьте выражение по условию задачи и преобразуйте его в многочлен:

а) Чему равна площадь прямоугольника, одна из сторон которого равна $x$ см, а другая на 3 см больше?

б) Чему равна площадь прямоугольника, одна из сторон которого равна $x$ см, а другая на $a$ см меньше?

а) По условию задачи одна сторона прямоугольника равна $x$ см. Другая сторона на 3 см больше, значит, ее длина равна $(x + 3)$ см. Площадь прямоугольника $S$ равна произведению длин его смежных сторон. Составим выражение для площади:
$S = x(x + 3)$
Чтобы преобразовать это выражение в многочлен, необходимо раскрыть скобки, умножив $x$ на каждый член в скобках:
$x(x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 = x^2 + 3x$
Таким образом, площадь прямоугольника равна $(x^2 + 3x)$ см².
Ответ: $x^2 + 3x$.

б) По условию задачи одна сторона прямоугольника равна $x$ см. Другая сторона на $a$ см меньше, значит, ее длина составляет $(x - a)$ см. Площадь прямоугольника $S$ находится как произведение длин его сторон. Составим соответствующее выражение:
$S = x(x - a)$
Преобразуем полученное выражение в многочлен, раскрыв скобки:
$x(x - a) = x \cdot x - x \cdot a = x^2 - ax$
Следовательно, площадь прямоугольника равна $(x^2 - ax)$ см².
Ответ: $x^2 - ax$.

690 Составьте выражение по условию задачи и преобразуйте его в многочлен:

а) Какое расстояние проехал автомобиль, если он ехал 4 ч со скоростью $y$ км/ч, а в следующие 2 ч его скорость была на 10 км/ч больше?

б) Какое расстояние преодолел турист, если 3 ч он ехал на велосипеде со скоростью $a$ км/ч, затем 1,5 ч шёл пешком со скоростью, на $b$ км/ч меньшей?

а)

Для нахождения общего расстояния необходимо сложить расстояния, которые автомобиль проехал за два промежутка времени. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

1. Первый участок пути:
Время движения $t_1 = 4$ ч.
Скорость движения $v_1 = y$ км/ч.
Расстояние, пройденное на первом участке: $S_1 = t_1 \cdot v_1 = 4y$ км.

2. Второй участок пути:
Время движения $t_2 = 2$ ч.
Скорость движения была на 10 км/ч больше, то есть $v_2 = y + 10$ км/ч.
Расстояние, пройденное на втором участке: $S_2 = t_2 \cdot v_2 = 2(y + 10)$ км.

3. Общее расстояние $S$ — это сумма расстояний $S_1$ и $S_2$. Составим выражение:
$S = S_1 + S_2 = 4y + 2(y + 10)$

Теперь преобразуем это выражение в многочлен. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$4y + 2(y + 10) = 4y + 2 \cdot y + 2 \cdot 10 = 4y + 2y + 20 = 6y + 20$
Ответ: $6y + 20$

б)

Общее расстояние, которое преодолел турист, равно сумме расстояния, которое он проехал на велосипеде, и расстояния, которое он прошел пешком.

1. Путь на велосипеде:
Время движения $t_1 = 3$ ч.
Скорость движения $v_1 = a$ км/ч.
Расстояние, пройденное на велосипеде: $S_1 = t_1 \cdot v_1 = 3a$ км.

2. Путь пешком:
Время движения $t_2 = 1,5$ ч.
Скорость движения была на $b$ км/ч меньше, чем на велосипеде, то есть $v_2 = a - b$ км/ч.
Расстояние, пройденное пешком: $S_2 = t_2 \cdot v_2 = 1.5(a - b)$ км.

3. Общее расстояние $S$ равно сумме $S_1$ и $S_2$. Составим выражение:
$S = S_1 + S_2 = 3a + 1.5(a - b)$

Преобразуем полученное выражение в многочлен:
$3a + 1.5(a - b) = 3a + 1.5 \cdot a - 1.5 \cdot b = 4.5a - 1.5b$
Ответ: $4.5a - 1.5b$

Решите уравнение (691–692).

691 а) $-7x + 5(2x - 3) = 6;$

б) $5x - 7(3 - x) = 2x + 11;$

в) $0,3 - 2(x + 1) = 0,4x + 0,1;$

г) $6x - 3,2 = 7x - 3(2x - 2,5).$

а) $-7x + 5(2x - 3) = 6$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, умножив 5 на каждый член в скобках:

$-7x + 5 \cdot 2x + 5 \cdot (-3) = 6$

$-7x + 10x - 15 = 6$

Далее, приведем подобные слагаемые (члены с переменной $x$) в левой части:

$(-7 + 10)x - 15 = 6$

$3x - 15 = 6$

Теперь перенесем свободный член $-15$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$3x = 6 + 15$

$3x = 21$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{21}{3}$

$x = 7$

Ответ: $7$

б) $5x - 7(3 - x) = 2x + 11$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Обратим внимание на знак минус перед 7:

$5x - 7 \cdot 3 - 7 \cdot (-x) = 2x + 11$

$5x - 21 + 7x = 2x + 11$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(5 + 7)x - 21 = 2x + 11$

$12x - 21 = 2x + 11$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя их знаки при переносе:

$12x - 2x = 11 + 21$

Упростим обе части уравнения:

$10x = 32$

Разделим обе части уравнения на 10, чтобы найти $x$:

$x = \frac{32}{10}$

$x = 3.2$

Ответ: $3.2$

в) $0.3 - 2(x + 1) = 0.4x + 0.1$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$0.3 - 2 \cdot x - 2 \cdot 1 = 0.4x + 0.1$

$0.3 - 2x - 2 = 0.4x + 0.1$

Приведем подобные слагаемые (свободные члены) в левой части:

$(0.3 - 2) - 2x = 0.4x + 0.1$

$-1.7 - 2x = 0.4x + 0.1$

Соберем члены с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой. Перенесем $-2x$ вправо, а $0.1$ влево:

$-1.7 - 0.1 = 0.4x + 2x$

Упростим обе части:

$-1.8 = 2.4x$

Чтобы найти $x$, разделим $-1.8$ на $2.4$:

$x = \frac{-1.8}{2.4}$

Для упрощения дроби можно умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных знаков: $x = \frac{-18}{24}$. Сократим дробь на 6:

$x = -\frac{3}{4}$

$x = -0.75$

Ответ: $-0.75$

г) $6x - 3.2 = 7x - 3(2x - 2.5)$

Начнем с раскрытия скобок в правой части уравнения:

$6x - 3.2 = 7x - 3 \cdot 2x - 3 \cdot (-2.5)$

$6x - 3.2 = 7x - 6x + 7.5$

Приведем подобные слагаемые с переменной $x$ в правой части:

$6x - 3.2 = (7 - 6)x + 7.5$

$6x - 3.2 = x + 7.5$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$6x - x = 7.5 + 3.2$

Упростим обе части уравнения:

$5x = 10.7$

Разделим обе части на 5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{10.7}{5}$

$x = 2.14$

Ответ: $2.14$

a) $2(x + 5) - 3(x - 2) = 10;$

б) $2(5 - x) - 5(2x - 3) = 1;$

В) $5(x - 1) + 5(3x + 2) = 6x + 8;$

Г) $44 - 10(3 - 4x) = 7(5x + 2).$

а)

Решим уравнение $2(x + 5) - 3(x - 2) = 10$.

Сначала раскроем скобки, умножив множители перед скобками на каждый член внутри скобок:

$2 \cdot x + 2 \cdot 5 - 3 \cdot x - 3 \cdot (-2) = 10$

$2x + 10 - 3x + 6 = 10$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с $x$ и свободные члены):

$(2x - 3x) + (10 + 6) = 10$

$-x + 16 = 10$

Перенесем число 16 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$-x = 10 - 16$

$-x = -6$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $-1$:

$x = 6$

Ответ: 6

б)

Решим уравнение $2(5 - x) - 5(2x - 3) = 1$.

Раскроем скобки:

$2 \cdot 5 + 2 \cdot (-x) - 5 \cdot 2x - 5 \cdot (-3) = 1$

$10 - 2x - 10x + 15 = 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(-2x - 10x) + (10 + 15) = 1$

$-12x + 25 = 1$

Перенесем число 25 в правую часть с противоположным знаком:

$-12x = 1 - 25$

$-12x = -24$

Разделим обе части уравнения на $-12$:

$x = \frac{-24}{-12}$

$x = 2$

Ответ: 2

в)

Решим уравнение $5(x - 1) + 5(3x + 2) = 6x + 8$.

Раскроем скобки в левой части:

$5x - 5 + 15x + 10 = 6x + 8$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(5x + 15x) + (-5 + 10) = 6x + 8$

$20x + 5 = 6x + 8$

Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя их знаки при переносе:

$20x - 6x = 8 - 5$

$14x = 3$

Разделим обе части уравнения на 14:

$x = \frac{3}{14}$

Ответ: $\frac{3}{14}$

г)

Решим уравнение $44 - 10(3 - 4x) = 7(5x + 2)$.

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$44 - 10 \cdot 3 - 10 \cdot (-4x) = 7 \cdot 5x + 7 \cdot 2$

$44 - 30 + 40x = 35x + 14$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$14 + 40x = 35x + 14$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$40x - 35x = 14 - 14$

$5x = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x = \frac{0}{5}$

$x = 0$

Ответ: 0

693 Представьте в виде многочлена стандартного вида:

а) $x(2x^2 - 3x + 1) + 2x(3 + 2x - x^2)$;

б) $m(m^2 - mn + n^2) - n(m^2 + mn + n^2)$;

в) $2p(1 - p - 3p^2) - 3p(2 - p - 2p^2)$;

г) $2c(5a - 3c^2) - c(a - 6c^2) + 3a(a - c)$.

а) Чтобы представить выражение в виде многочлена стандартного вида, необходимо выполнить следующие действия: сначала раскрыть скобки, умножив одночлены на многочлены, а затем привести подобные слагаемые.

Исходное выражение: $x(2x^2 - 3x + 1) + 2x(3 + 2x - x^2)$

1. Раскрываем скобки:

$(x \cdot 2x^2 - x \cdot 3x + x \cdot 1) + (2x \cdot 3 + 2x \cdot 2x - 2x \cdot x^2) = (2x^3 - 3x^2 + x) + (6x + 4x^2 - 2x^3)$

2. Группируем и приводим подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени):

$(2x^3 - 2x^3) + (-3x^2 + 4x^2) + (x + 6x) = 0 + x^2 + 7x = x^2 + 7x$

Полученный многочлен записан в стандартном виде, так как все его члены имеют стандартный вид, подобные члены приведены, и они расположены в порядке убывания степеней переменной.

Ответ: $x^2 + 7x$

б) Упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные члены.

Исходное выражение: $m(m^2 - mn + n^2) - n(m^2 + mn + n^2)$

1. Раскрываем скобки. Обращаем внимание, что перед вторым слагаемым стоит знак минус, поэтому при раскрытии скобок знаки всех членов внутри меняются на противоположные.

$(m \cdot m^2 - m \cdot mn + m \cdot n^2) - (n \cdot m^2 + n \cdot mn + n \cdot n^2) = (m^3 - m^2n + mn^2) - (m^2n + mn^2 + n^3) = m^3 - m^2n + mn^2 - m^2n - mn^2 - n^3$

2. Группируем и приводим подобные слагаемые:

$m^3 + (-m^2n - m^2n) + (mn^2 - mn^2) - n^3 = m^3 - 2m^2n - n^3$

Ответ: $m^3 - 2m^2n - n^3$

в) Представим выражение в виде многочлена стандартного вида.

Исходное выражение: $2p(1 - p - 3p^2) - 3p(2 - p - 2p^2)$

1. Раскроем скобки:

$(2p \cdot 1 - 2p \cdot p - 2p \cdot 3p^2) - (3p \cdot 2 - 3p \cdot p - 3p \cdot 2p^2) = (2p - 2p^2 - 6p^3) - (6p - 3p^2 - 6p^3)$

2. Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$2p - 2p^2 - 6p^3 - 6p + 3p^2 + 6p^3$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, расположив их по убыванию степеней:

$(-6p^3 + 6p^3) + (-2p^2 + 3p^2) + (2p - 6p) = 0 + p^2 - 4p = p^2 - 4p$

Ответ: $p^2 - 4p$

г) Упростим данное выражение.

Исходное выражение: $2c(5a - 3c^2) - c(a - 6c^2) + 3a(a - c)$

1. Последовательно раскроем все скобки:

$(2c \cdot 5a - 2c \cdot 3c^2) - (c \cdot a - c \cdot 6c^2) + (3a \cdot a - 3a \cdot c) = (10ac - 6c^3) - (ac - 6c^3) + (3a^2 - 3ac)$

2. Уберем скобки, учитывая знаки:

$10ac - 6c^3 - ac + 6c^3 + 3a^2 - 3ac$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Упорядочим многочлен по убыванию степеней переменной $a$.

$3a^2 + (10ac - ac - 3ac) + (-6c^3 + 6c^3) = 3a^2 + 6ac + 0 = 3a^2 + 6ac$

Ответ: $3a^2 + 6ac$

694 Упростите выражение:

а) $(m(3m - 2n) - m(3n - 2m))n$;

б) $b(a(a - b) - b(a + b)) - a(b(a - b) - a(a + b)).$

а) Для упрощения выражения $(m(3m - 2n) - m(3n - 2m))n$ сначала выполним действия в больших скобках. Раскроем внутренние скобки: $m(3m - 2n) = 3m^2 - 2mn$ и $m(3n - 2m) = 3mn - 2m^2$. Подставим эти результаты в выражение в больших скобках и раскроем их: $(3m^2 - 2mn) - (3mn - 2m^2) = 3m^2 - 2mn - 3mn + 2m^2$. Приведем подобные слагаемые: $(3m^2 + 2m^2) + (-2mn - 3mn) = 5m^2 - 5mn$. Теперь умножим полученное выражение на $n$: $(5m^2 - 5mn)n = 5m^2 \cdot n - 5mn \cdot n = 5m^2n - 5mn^2$.
Ответ: $5m^2n - 5mn^2$

б) Упростим выражение $b(a(a - b) - b(a + b)) - a(b(a - b) - a(a + b))$, раскрыв скобки последовательно, начиная с самых внутренних.
Сначала упростим первую часть $b(a(a - b) - b(a + b))$. Раскрываем внутренние скобки: $a(a-b) = a^2 - ab$ и $b(a+b) = ab + b^2$. Выражение в скобках становится $a^2 - ab - (ab + b^2) = a^2 - 2ab - b^2$. Умножаем на $b$: $b(a^2 - 2ab - b^2) = a^2b - 2ab^2 - b^3$.
Теперь упростим вторую часть выражения: $-a(b(a - b) - a(a + b))$. Раскрываем внутренние скобки: $b(a - b) = ab - b^2$ и $a(a + b) = a^2 + ab$. Выражение в скобках становится $ab - b^2 - (a^2 + ab) = -a^2 - b^2$. Умножаем на $-a$: $-a(-a^2 - b^2) = a^3 + ab^2$.
Сложим полученные результаты: $(a^2b - 2ab^2 - b^3) + (a^3 + ab^2)$.
Приведем подобные слагаемые, чтобы получить окончательный ответ: $a^3 + a^2b - 2ab^2 + ab^2 - b^3 = a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$.
Ответ: $a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$

695 Составьте выражение по условию задачи и преобразуйте его в многочлен:

а) Катер плыл по течению реки 3 ч и против течения 4 ч. Какое расстояние прошёл катер за это время, если собственная скорость катера $x$ км/ч, а скорость течения реки $m$ км/ч?

б) Лодка отплыла от пристани и плыла по течению реки 2 ч, затем она повернула и плыла ещё 2 ч против течения. Сколько километров она не доплыла до пристани, если её собственная скорость $v$ км/ч, а скорость течения реки $a$ км/ч? Зависит ли ответ этой задачи от собственной скорости лодки?

а)

Чтобы найти общее расстояние, пройденное катером, необходимо сложить расстояние, которое он проплыл по течению, и расстояние, которое он проплыл против течения.
Скорость катера по течению реки равна сумме его собственной скорости ($x$ км/ч) и скорости течения ($m$ км/ч): $v_{по} = x + m$ км/ч. За 3 часа по течению катер прошел расстояние $S_1 = 3(x + m)$ км.
Скорость катера против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = x - m$ км/ч. За 4 часа против течения катер прошел расстояние $S_2 = 4(x - m)$ км.
Общее расстояние $S$ равно сумме $S_1$ и $S_2$. Составим выражение:
$S = 3(x + m) + 4(x - m)$
Теперь преобразуем полученное выражение в многочлен, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$3(x + m) + 4(x - m) = 3x + 3m + 4x - 4m = (3x + 4x) + (3m - 4m) = 7x - m$.
Ответ: $7x - m$ км.

б)

Чтобы найти, сколько километров лодка не доплыла до пристани, нужно из расстояния, пройденного по течению (от пристани), вычесть расстояние, пройденное против течения (обратно к пристани).
Скорость лодки по течению равна сумме ее собственной скорости ($v$ км/ч) и скорости течения ($a$ км/ч): $v_{по} = v + a$ км/ч. Расстояние, на которое лодка отдалилась от пристани за 2 часа, равно $S_{от} = 2(v + a)$ км.
Скорость лодки против течения равна разности ее собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v - a$ км/ч. Расстояние, которое лодка прошла в обратном направлении за 2 часа, равно $S_{к} = 2(v - a)$ км.
Искомое расстояние — это разность между расстоянием, пройденным от пристани, и расстоянием, пройденным обратно. Составим выражение:
$S_{ост} = S_{от} - S_{к} = 2(v + a) - 2(v - a)$
Преобразуем выражение в многочлен:
$2(v + a) - 2(v - a) = 2v + 2a - (2v - 2a) = 2v + 2a - 2v + 2a = (2v - 2v) + (2a + 2a) = 4a$.
Полученный результат $4a$ не содержит переменную $v$ (собственную скорость лодки). Следовательно, ответ задачи зависит только от скорости течения реки $a$.
Ответ: лодка не доплыла до пристани $4a$ км. Ответ не зависит от собственной скорости лодки.