Номер 693, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.3. Умножение одночлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 693, страница 199.

693 Представьте в виде многочлена стандартного вида:

а) $x(2x^2 - 3x + 1) + 2x(3 + 2x - x^2)$;

б) $m(m^2 - mn + n^2) - n(m^2 + mn + n^2)$;

в) $2p(1 - p - 3p^2) - 3p(2 - p - 2p^2)$;

г) $2c(5a - 3c^2) - c(a - 6c^2) + 3a(a - c)$.

а) Чтобы представить выражение в виде многочлена стандартного вида, необходимо выполнить следующие действия: сначала раскрыть скобки, умножив одночлены на многочлены, а затем привести подобные слагаемые.

Исходное выражение: $x(2x^2 - 3x + 1) + 2x(3 + 2x - x^2)$

1. Раскрываем скобки:

$(x \cdot 2x^2 - x \cdot 3x + x \cdot 1) + (2x \cdot 3 + 2x \cdot 2x - 2x \cdot x^2) = (2x^3 - 3x^2 + x) + (6x + 4x^2 - 2x^3)$

2. Группируем и приводим подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени):

$(2x^3 - 2x^3) + (-3x^2 + 4x^2) + (x + 6x) = 0 + x^2 + 7x = x^2 + 7x$

Полученный многочлен записан в стандартном виде, так как все его члены имеют стандартный вид, подобные члены приведены, и они расположены в порядке убывания степеней переменной.

Ответ: $x^2 + 7x$

б) Упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные члены.

Исходное выражение: $m(m^2 - mn + n^2) - n(m^2 + mn + n^2)$

1. Раскрываем скобки. Обращаем внимание, что перед вторым слагаемым стоит знак минус, поэтому при раскрытии скобок знаки всех членов внутри меняются на противоположные.

$(m \cdot m^2 - m \cdot mn + m \cdot n^2) - (n \cdot m^2 + n \cdot mn + n \cdot n^2) = (m^3 - m^2n + mn^2) - (m^2n + mn^2 + n^3) = m^3 - m^2n + mn^2 - m^2n - mn^2 - n^3$

2. Группируем и приводим подобные слагаемые:

$m^3 + (-m^2n - m^2n) + (mn^2 - mn^2) - n^3 = m^3 - 2m^2n - n^3$

Ответ: $m^3 - 2m^2n - n^3$

в) Представим выражение в виде многочлена стандартного вида.

Исходное выражение: $2p(1 - p - 3p^2) - 3p(2 - p - 2p^2)$

1. Раскроем скобки:

$(2p \cdot 1 - 2p \cdot p - 2p \cdot 3p^2) - (3p \cdot 2 - 3p \cdot p - 3p \cdot 2p^2) = (2p - 2p^2 - 6p^3) - (6p - 3p^2 - 6p^3)$

2. Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$2p - 2p^2 - 6p^3 - 6p + 3p^2 + 6p^3$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, расположив их по убыванию степеней:

$(-6p^3 + 6p^3) + (-2p^2 + 3p^2) + (2p - 6p) = 0 + p^2 - 4p = p^2 - 4p$

Ответ: $p^2 - 4p$

г) Упростим данное выражение.

Исходное выражение: $2c(5a - 3c^2) - c(a - 6c^2) + 3a(a - c)$

1. Последовательно раскроем все скобки:

$(2c \cdot 5a - 2c \cdot 3c^2) - (c \cdot a - c \cdot 6c^2) + (3a \cdot a - 3a \cdot c) = (10ac - 6c^3) - (ac - 6c^3) + (3a^2 - 3ac)$

2. Уберем скобки, учитывая знаки:

$10ac - 6c^3 - ac + 6c^3 + 3a^2 - 3ac$

3. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Упорядочим многочлен по убыванию степеней переменной $a$.

$3a^2 + (10ac - ac - 3ac) + (-6c^3 + 6c^3) = 3a^2 + 6ac + 0 = 3a^2 + 6ac$

Ответ: $3a^2 + 6ac$