Номер 697, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.3. Умножение одночлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 697, страница 200.

697 Докажите, что:

а) $a(b - c + d) - b(c - d + a) + c(a + b - d) - d(a + b - c) = 0;$

б) $xyz(x - 1) - xyz(y - 1) - xyz(z - 1) - xyz = xyz(x - y - z).$

а) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Для этого раскроем скобки в выражении $a(b - c + d) - b(c - d + a) + c(a + b - d) - d(a + b - c)$.
$ab - ac + ad - (bc - bd + ab) + (ac + bc - cd) - (ad + bd - cd)$
Убираем скобки, учитывая знаки:
$ab - ac + ad - bc + bd - ab + ac + bc - cd - ad - bd + cd$
Теперь сгруппируем и приведём подобные слагаемые (взаимно уничтожающиеся пары):
$(ab - ab) + (-ac + ac) + (ad - ad) + (-bc + bc) + (bd - bd) + (-cd + cd) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$.
В результате преобразований левая часть выражения равна 0, что соответствует правой части исходного равенства. Таким образом, $0 = 0$.
Ответ: Тождество доказано.

б) Докажем тождество, преобразовав его левую часть, чтобы она стала идентична правой. Исходная левая часть: $xyz(x - 1) - xyz(y - 1) - xyz(z - 1) - xyz$.
Вынесем общий множитель $xyz$ за скобки:
$xyz \cdot [(x - 1) - (y - 1) - (z - 1) - 1]$
Упростим выражение в квадратных скобках, раскрыв внутренние круглые скобки:
$x - 1 - y + 1 - z + 1 - 1$
Приведём подобные слагаемые:
$x - y - z + (-1 + 1 + 1 - 1) = x - y - z + 0 = x - y - z$
Подставим упрощенное выражение обратно. Левая часть принимает вид:
$xyz(x - y - z)$
Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества: $xyz(x - y - z) = xyz(x - y - z)$.
Ответ: Тождество доказано.