Номер 700, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.3. Умножение одночлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 700, страница 200.

700 Докажите, что если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то:

a) $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$;

б) $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$;

в) $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$.

Проиллюстрируйте доказанное утверждение примером.

а) Докажем, что из $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ следует $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$.
К обеим частям исходного равенства $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ прибавим 1.
$\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1$
Представим 1 как дробь с нужным знаменателем для каждой части:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{c}{d} + \frac{d}{d}$
Сложим дроби:
$\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$
Утверждение доказано.
Ответ: Равенство $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ является верным, если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

б) Докажем, что из $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ следует $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$.
Из обеих частей исходного равенства $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ вычтем 1.
$\frac{a}{b} - 1 = \frac{c}{d} - 1$
Представим 1 как дробь с нужным знаменателем для каждой части:
$\frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{c}{d} - \frac{d}{d}$
Выполним вычитание дробей:
$\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$
Утверждение доказано.
Ответ: Равенство $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$ является верным, если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

в) Докажем, что из $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ следует $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$.
Пусть отношения в исходной пропорции равны некоторому числу $k$:
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$
Из этого следует, что $a = bk$ и $c = dk$.
Теперь подставим эти выражения для $a$ и $c$ в левую часть доказываемого равенства:
$\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk+dk}{b+d}$
В числителе вынесем общий множитель $k$ за скобки:
$\frac{k(b+d)}{b+d}$
Если $b+d \neq 0$, можно сократить дробь на $(b+d)$, и мы получим $k$.
Правая часть доказываемого равенства, $\frac{a}{b}$, по нашему определению также равна $k$.
Поскольку и левая, и правая части равны $k$, они равны между собой. Утверждение доказано.
Ответ: Равенство $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$ является верным, если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (и $b+d \neq 0$).

Проиллюстрируем доказанные утверждения на примере. Возьмем верную пропорцию $\frac{4}{2} = \frac{10}{5}$. Здесь $a=4$, $b=2$, $c=10$, $d=5$. Каждое отношение равно 2.

а) Проверим равенство $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$:
Левая часть: $\frac{4+2}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Правая часть: $\frac{10+5}{5} = \frac{15}{5} = 3$.
$3 = 3$. Равенство выполняется.

б) Проверим равенство $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$:
Левая часть: $\frac{4-2}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Правая часть: $\frac{10-5}{5} = \frac{5}{5} = 1$.
$1 = 1$. Равенство выполняется.

в) Проверим равенство $\frac{a+c}{b+d} = \frac{a}{b}$:
Левая часть: $\frac{4+10}{2+5} = \frac{14}{7} = 2$.
Правая часть: $\frac{4}{2} = 2$.
$2 = 2$. Равенство выполняется.