Номер 698, страница 200 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.3. Умножение одночлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 698, страница 200.

698 Докажите, что:

а) если $a + b + c = 0$, то $a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = 3abc;$

б) если $ab + ac + bc = 0$, то $a(a - b) + b(b - c) + c(c - a) = a^2 + b^2 + c^2.$

а) Дано условие: $a + b + c = 0$. Необходимо доказать тождество: $a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = 3abc$.

Для доказательства преобразуем левую часть выражения. Раскроем скобки:

$a(bc - 1) + b(ac - 1) + c(ab - 1) = abc - a + abc - b + abc - c$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

$(abc + abc + abc) - (a + b + c) = 3abc - (a + b + c)$

Согласно условию задачи, $a + b + c = 0$. Подставим это значение в полученное выражение:

$3abc - (0) = 3abc$

В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства тождественно равна правой: $3abc = 3abc$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Дано условие: $ab + ac + bc = 0$. Необходимо доказать тождество: $a(a - b) + b(b - c) + c(c - a) = a^2 + b^2 + c^2$.

Для доказательства преобразуем левую часть выражения. Раскроем скобки:

$a(a - b) + b(b - c) + c(c - a) = a^2 - ab + b^2 - bc + c^2 - ca$

Теперь сгруппируем слагаемые, выделив сумму квадратов и сумму попарных произведений:

$(a^2 + b^2 + c^2) - ab - bc - ca = (a^2 + b^2 + c^2) - (ab + bc + ac)$

Согласно условию задачи, $ab + ac + bc = 0$. Подставим это значение в полученное выражение:

$(a^2 + b^2 + c^2) - (0) = a^2 + b^2 + c^2$

В результате преобразований мы получили, что левая часть равенства тождественно равна правой: $a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.