Номер 695, страница 199 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.3. Умножение одночлена на многочлен. Глава 7. Многочлены - номер 695, страница 199.

695 Составьте выражение по условию задачи и преобразуйте его в многочлен:

а) Катер плыл по течению реки 3 ч и против течения 4 ч. Какое расстояние прошёл катер за это время, если собственная скорость катера $x$ км/ч, а скорость течения реки $m$ км/ч?

б) Лодка отплыла от пристани и плыла по течению реки 2 ч, затем она повернула и плыла ещё 2 ч против течения. Сколько километров она не доплыла до пристани, если её собственная скорость $v$ км/ч, а скорость течения реки $a$ км/ч? Зависит ли ответ этой задачи от собственной скорости лодки?

а)

Чтобы найти общее расстояние, пройденное катером, необходимо сложить расстояние, которое он проплыл по течению, и расстояние, которое он проплыл против течения.
Скорость катера по течению реки равна сумме его собственной скорости ($x$ км/ч) и скорости течения ($m$ км/ч): $v_{по} = x + m$ км/ч. За 3 часа по течению катер прошел расстояние $S_1 = 3(x + m)$ км.
Скорость катера против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = x - m$ км/ч. За 4 часа против течения катер прошел расстояние $S_2 = 4(x - m)$ км.
Общее расстояние $S$ равно сумме $S_1$ и $S_2$. Составим выражение:
$S = 3(x + m) + 4(x - m)$
Теперь преобразуем полученное выражение в многочлен, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$3(x + m) + 4(x - m) = 3x + 3m + 4x - 4m = (3x + 4x) + (3m - 4m) = 7x - m$.
Ответ: $7x - m$ км.

б)

Чтобы найти, сколько километров лодка не доплыла до пристани, нужно из расстояния, пройденного по течению (от пристани), вычесть расстояние, пройденное против течения (обратно к пристани).
Скорость лодки по течению равна сумме ее собственной скорости ($v$ км/ч) и скорости течения ($a$ км/ч): $v_{по} = v + a$ км/ч. Расстояние, на которое лодка отдалилась от пристани за 2 часа, равно $S_{от} = 2(v + a)$ км.
Скорость лодки против течения равна разности ее собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v - a$ км/ч. Расстояние, которое лодка прошла в обратном направлении за 2 часа, равно $S_{к} = 2(v - a)$ км.
Искомое расстояние — это разность между расстоянием, пройденным от пристани, и расстоянием, пройденным обратно. Составим выражение:
$S_{ост} = S_{от} - S_{к} = 2(v + a) - 2(v - a)$
Преобразуем выражение в многочлен:
$2(v + a) - 2(v - a) = 2v + 2a - (2v - 2a) = 2v + 2a - 2v + 2a = (2v - 2v) + (2a + 2a) = 4a$.
Полученный результат $4a$ не содержит переменную $v$ (собственную скорость лодки). Следовательно, ответ задачи зависит только от скорости течения реки $a$.
Ответ: лодка не доплыла до пристани $4a$ км. Ответ не зависит от собственной скорости лодки.