Страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

660 РАССУЖДАЕМ Запишите многочлен, который надо прибавить к трёхчлену $3a^3 - 2a^2 + 1$, чтобы сумма оказалась равной:

a) 10;

б) $a^3$;

в) $-3a^2$.

Чтобы найти многочлен, который надо прибавить к трёхчлену $3a^3 - 2a^2 + 1$, нужно из желаемой суммы вычесть этот трёхчлен. Пусть искомый многочлен это $P$. Тогда справедливо равенство:

$(3a^3 - 2a^2 + 1) + P = \text{Сумма}$

Выразим отсюда $P$:

$P = \text{Сумма} - (3a^3 - 2a^2 + 1)$

Теперь решим каждый подпункт, подставляя в эту формулу соответствующее значение суммы.

а)

Здесь сумма должна быть равна $10$.

$P = 10 - (3a^3 - 2a^2 + 1)$

Раскрываем скобки. Так как перед скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобки меняются на противоположные:

$P = 10 - 3a^3 + 2a^2 - 1$

Приводим подобные слагаемые:

$P = -3a^3 + 2a^2 + (10 - 1) = -3a^3 + 2a^2 + 9$

Ответ: $-3a^3 + 2a^2 + 9$

б)

Здесь сумма должна быть равна $a^3$.

$P = a^3 - (3a^3 - 2a^2 + 1)$

Раскрываем скобки:

$P = a^3 - 3a^3 + 2a^2 - 1$

Приводим подобные слагаемые:

$P = (1 - 3)a^3 + 2a^2 - 1 = -2a^3 + 2a^2 - 1$

Ответ: $-2a^3 + 2a^2 - 1$

в)

Здесь сумма должна быть равна $-3a^2$.

$P = -3a^2 - (3a^3 - 2a^2 + 1)$

Раскрываем скобки:

$P = -3a^2 - 3a^3 + 2a^2 - 1$

Приводим подобные слагаемые и записываем многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней переменной $a$):

$P = -3a^3 + (-3a^2 + 2a^2) - 1 = -3a^3 - a^2 - 1$

Ответ: $-3a^3 - a^2 - 1$

661 Раскройте скобки:

а) $-(a + b)$;

б) $-(m - n)$;

в) $-(-c - b)$;

г) $-(x - y - z)$;

д) $-(3a + 2b - c)$;

е) $-(5z - x + y).

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «минус», нужно этот минус опустить, а все знаки, стоящие перед слагаемыми внутри скобок, изменить на противоположные. То есть, плюс на минус, а минус на плюс. Это равносильно умножению каждого слагаемого в скобках на $-1$.

а) Для выражения $-(a + b)$ нужно изменить знаки обоих слагаемых в скобках, $a$ и $b$, на противоположные. Так как оба слагаемых положительные, они станут отрицательными: $-(a + b) = -a - b$.

Ответ: $-a - b$

б) В выражении $-(m - n)$ слагаемое $m$ положительное, а $n$ — отрицательное. Меняем их знаки на противоположные: $m$ станет $-m$, а $-n$ станет $+n$. Получаем: $-(m - n) = -m + n$.

Ответ: $-m + n$

в) В выражении $-(-c - b)$ оба слагаемых, $-c$ и $-b$, отрицательные. При раскрытии скобок они станут положительными: $-(-c - b) = c + b$.

Ответ: $c + b$

г) В выражении $-(x - y - z)$ слагаемое $x$ положительное, а $y$ и $z$ — отрицательные. Меняем знаки на противоположные: $x$ станет $-x$, $-y$ станет $+y$, и $-z$ станет $+z$. Получаем: $-(x - y - z) = -x + y + z$.

Ответ: $-x + y + z$

д) В выражении $-(3a + 2b - c)$ слагаемые $3a$ и $2b$ положительные, а $c$ — отрицательное. Меняем знаки: $3a$ станет $-3a$, $2b$ станет $-2b$, и $-c$ станет $+c$. Получаем: $-(3a + 2b - c) = -3a - 2b + c$.

Ответ: $-3a - 2b + c$

е) В выражении $-(5z - x + y)$ слагаемое $5z$ положительное, $x$ — отрицательное, а $y$ — положительное. Меняем знаки на противоположные: $5z$ станет $-5z$, $-x$ станет $+x$, и $y$ станет $-y$. Получаем: $-(5z - x + y) = -5z + x - y$.

Ответ: $-5z + x - y$

662 Какой двучлен надо прибавить к данному двучлену, чтобы в сумме получился 0:

а) $a + b$;

б) $x - y$;

в) $m - n$?

Чтобы сумма двух выражений равнялась нулю, эти выражения должны быть противоположными друг другу. То есть, если дано выражение $P$, то нужно найти такое выражение $Q$, для которого выполняется равенство $P + Q = 0$. Из этого следует, что искомое выражение $Q = -P$. Найдем противоположные выражения для каждого из данных двучленов.

а) a + b;

Пусть искомый двучлен равен $X$. По условию задачи, сумма данного двучлена и $X$ должна быть равна 0:
$(a + b) + X = 0$
Чтобы найти $X$, перенесем двучлен $(a + b)$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$X = -(a + b)$
Раскроем скобки, поменяв знаки у каждого слагаемого внутри них:
$X = -a - b$
Проверка: $(a + b) + (-a - b) = a + b - a - b = 0$.
Ответ: $-a - b$.

б) x - y;

Пусть искомый двучлен равен $Y$. Тогда:
$(x - y) + Y = 0$
Выразим $Y$:
$Y = -(x - y)$
Раскроем скобки:
$Y = -x + y$
Этот двучлен также можно записать в виде $y - x$.
Проверка: $(x - y) + (-x + y) = x - y - x + y = 0$.
Ответ: $-x + y$.

в) m - n?

Пусть искомый двучлен равен $Z$. Тогда:
$(m - n) + Z = 0$
Выразим $Z$:
$Z = -(m - n)$
Раскроем скобки:
$Z = -m + n$
Этот двучлен также можно записать в виде $n - m$.
Проверка: $(m - n) + (-m + n) = m - n - m + n = 0$.
Ответ: $-m + n$.

663 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

а) двучлены $a - b$ и $b - a$ противоположны;

б) двучлены $a + b$ и $-a - b$ противоположны.

а) Два выражения называются противоположными, если их сумма равна нулю. Чтобы доказать, что двучлены $a - b$ и $b - a$ противоположны, найдем их сумму.

$(a - b) + (b - a) = a - b + b - a$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(a - a) + (b - b) = 0 + 0 = 0$

Поскольку сумма данных двучленов равна нулю, они являются противоположными.
Также можно показать, что одно выражение можно получить из другого умножением на $-1$:
$-(a - b) = -a + b = b - a$
Это также доказывает, что выражения противоположны.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Аналогично, чтобы доказать, что двучлены $a + b$ и $-a - b$ противоположны, найдем их сумму.

$(a + b) + (-a - b) = a + b - a - b$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(a - a) + (b - b) = 0 + 0 = 0$

Поскольку сумма данных двучленов равна нулю, они являются противоположными.
Также можно показать, что одно выражение можно получить из другого умножением на $-1$:
$-(a + b) = -a - b$
Это также доказывает, что выражения противоположны.
Ответ: Что и требовалось доказать.

664 РАССУЖДАЕМ Убедитесь в том, что данные многочлены противоположны, и найдите значение каждого из них при заданных значениях переменных:

a) $x - y - z$ и $y + z - x$ при $x = 0,3$, $y = -0,2$, $z = -0,1$;

б) $x^2 + 2x - 1$ и $1 - 2x - x^2$ при $x = -\frac{1}{3}.

а) $x - y - z$ и $y + z - x$ при $x = 0,3, y = -0,2, z = -0,1$

Сначала убедимся, что данные многочлены являются противоположными. Два многочлена называются противоположными, если их сумма равна нулю.

Обозначим первый многочлен как $A = x - y - z$, а второй как $B = y + z - x$.

Найдем их сумму:
$A + B = (x - y - z) + (y + z - x)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x - y - z + y + z - x = (x - x) + (-y + y) + (-z + z) = 0 + 0 + 0 = 0$.
Так как сумма многочленов равна нулю, они действительно являются противоположными.

Теперь найдем значение каждого многочлена при заданных значениях переменных.
Для первого многочлена $x - y - z$:
$0,3 - (-0,2) - (-0,1) = 0,3 + 0,2 + 0,1 = 0,6$.

Для второго многочлена $y + z - x$:
$-0,2 + (-0,1) - 0,3 = -0,2 - 0,1 - 0,3 = -0,6$.

Как и ожидалось, значения многочленов являются противоположными числами.

Ответ: значения многочленов равны $0,6$ и $-0,6$.

б) $x^2 + 2x - 1$ и $1 - 2x - x^2$ при $x = -\frac{1}{3}$

Сначала убедимся, что данные многочлены являются противоположными.

Обозначим первый многочлен как $C = x^2 + 2x - 1$, а второй как $D = 1 - 2x - x^2$.

Найдем их сумму:
$C + D = (x^2 + 2x - 1) + (1 - 2x - x^2)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 2x - 1 + 1 - 2x - x^2 = (x^2 - x^2) + (2x - 2x) + (-1 + 1) = 0 + 0 + 0 = 0$.
Сумма многочленов равна нулю, следовательно, они являются противоположными.

Теперь найдем значение каждого многочлена при $x = -\frac{1}{3}$.
Для первого многочлена $x^2 + 2x - 1$:
$(-\frac{1}{3})^2 + 2 \cdot (-\frac{1}{3}) - 1 = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} - 1 = \frac{1}{9} - \frac{6}{9} - \frac{9}{9} = \frac{1 - 6 - 9}{9} = -\frac{14}{9} = -1\frac{5}{9}$.

Для второго многочлена $1 - 2x - x^2$:
$1 - 2 \cdot (-\frac{1}{3}) - (-\frac{1}{3})^2 = 1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} + \frac{6}{9} - \frac{1}{9} = \frac{9 + 6 - 1}{9} = \frac{14}{9} = 1\frac{5}{9}$.

Как и ожидалось, значения многочленов являются противоположными числами.

Ответ: значения многочленов равны $-\frac{14}{9}$ и $\frac{14}{9}$.

665 Представьте многочлен в виде суммы и в виде разности двух каких-либо двучленов (проверьте, раскрывая мысленно скобки, правильно ли вы выполнили задание):

а) $a - b - c + d;$

б) $m + n - p + q.$

а) Для многочлена $a - b - c + d$ можно выполнить следующие преобразования.
Чтобы представить его в виде суммы двух двучленов, необходимо сгруппировать его члены попарно. Например, можно объединить $a$ с $-b$ и $-c$ с $d$. Так как мы представляем многочлен в виде суммы, то знаки слагаемых при заключении в скобки не меняются: $a - b - c + d = (a - b) + (-c + d)$. Для удобства записи можно поменять слагаемые во второй скобке местами: $(a - b) + (d - c)$.
Проверка (мысленно раскрываем скобки): $(a - b) + (d - c) = a - b + d - c$, что после перестановки слагаемых равно исходному многочлену.
Чтобы представить его в виде разности двух двучленов, нужно учесть, что при раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, знаки слагаемых внутри них изменятся на противоположные. Сгруппируем члены $a$ и $d$ в первый двучлен (уменьшаемое). Чтобы после вычитания второго двучлена получить $-b - c$, этот двучлен должен быть равен $(b + c)$. Таким образом, получаем: $a - b - c + d = (a + d) - (b + c)$.
Проверка: раскрывая скобки $(a + d) - (b + c)$, получаем $a + d - b - c$, что равно исходному многочлену.

Ответ: в виде суммы: $(a - b) + (d - c)$; в виде разности: $(a + d) - (b + c)$.

б) Для многочлена $m + n - p + q$ преобразования выполняются аналогично.
Чтобы представить его в виде суммы двух двучленов, сгруппируем члены, например, так: первые два и последние два. $m + n - p + q = (m + n) + (-p + q)$. Переставив слагаемые во второй скобке для удобства, получим: $(m + n) + (q - p)$.
Проверка: $(m + n) + (q - p) = m + n + q - p$, что соответствует исходному выражению.
Чтобы представить его в виде разности двух двучленов, можно взять в качестве уменьшаемого двучлен $(m + n)$. Чтобы из него получить исходное выражение, нужно вычесть такой двучлен, который даст $-p + q$. Это двучлен $(p - q)$, так как $-(p - q) = -p + q$. Получаем: $m + n - p + q = (m + n) - (p - q)$.
Проверка: $(m + n) - (p - q) = m + n - p - (-q) = m + n - p + q$, что соответствует исходному выражению.

Ответ: в виде суммы: $(m + n) + (q - p)$; в виде разности: $(m + n) - (p - q)$.

666 Многочлен $x^3 - x^2 - x + 1$ представили в виде разности двучленов. Найдите эту разность среди приведённых ниже выражений.

1) $(x^3 - x^2) - (x + 1)$

2) $(x^3 - x) - (x^2 + 1)$

3) $(x^3 + 1) - (x^2 - x)$

4) $(1 - x) - (x^2 - x^3)$

Для того чтобы найти, какая из предложенных разностей двучленов равна многочлену $x^3 - x^2 - x + 1$, необходимо упростить каждое из выражений, раскрыв скобки, и сравнить результат с исходным многочленом.

1) $(x^3 - x^2) - (x + 1)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак «минус», знаки слагаемых внутри неё изменятся на противоположные:

$(x^3 - x^2) - (x + 1) = x^3 - x^2 - x - 1$

Полученное выражение $x^3 - x^2 - x - 1$ не равно исходному многочлену $x^3 - x^2 - x + 1$.

Ответ: неверно.

2) $(x^3 - x) - (x^2 + 1)$

Раскроем скобки:

$(x^3 - x) - (x^2 + 1) = x^3 - x - x^2 - 1$

Приведём многочлен к стандартному виду, расположив члены по убыванию степеней:

$x^3 - x^2 - x - 1$

Это выражение не равно исходному многочлену.

Ответ: неверно.

3) $(x^3 + 1) - (x^2 - x)$

Раскроем скобки:

$(x^3 + 1) - (x^2 - x) = x^3 + 1 - x^2 + x$

Приведём многочлен к стандартному виду:

$x^3 - x^2 + x + 1$

Это выражение не равно исходному многочлену, так как знак при слагаемом $x$ отличается.

Ответ: неверно.

4) $(1 - x) - (x^2 - x^3)$

Раскроем скобки:

$(1 - x) - (x^2 - x^3) = 1 - x - x^2 + x^3$

Приведём многочлен к стандартному виду:

$x^3 - x^2 - x + 1$

Полученное выражение полностью совпадает с исходным многочленом.

Ответ: верно.

667 Упростите выражение, расположив слагаемые в столбик:

а) $(p^2 + q^2 - r^2) + (q^2 + r^2 - p^2) + (r^2 + p^2 - q^2) + (r^2 - p^2 - q^2);$

б) $(a - b + c) - (a - b + d) + (a - c + d) - (b - c + d);$

в) $(x + y + z - 1) - (x - y + z + 1) + (x - y - z + 1) - (x - y - z - 1).$

а) $(p^2 + q^2 - r^2) + (q^2 + r^2 - p^2) + (r^2 + p^2 - q^2) + (r^2 - p^2 - q^2)$

Для упрощения выражения сначала раскроем все скобки. Так как все скобки соединены знаком «+», знаки слагаемых внутри них не изменяются.

$p^2 + q^2 - r^2 + q^2 + r^2 - p^2 + r^2 + p^2 - q^2 + r^2 - p^2 - q^2$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые (что равносильно их расположению в столбик) и приведем их:

Слагаемые с $p^2$: $p^2 - p^2 + p^2 - p^2 = (1 - 1 + 1 - 1)p^2 = 0$.

Слагаемые с $q^2$: $q^2 + q^2 - q^2 - q^2 = (1 + 1 - 1 - 1)q^2 = 0$.

Слагаемые с $r^2$: $-r^2 + r^2 + r^2 + r^2 = (-1 + 1 + 1 + 1)r^2 = 2r^2$.

Складывая полученные результаты, получаем: $0 + 0 + 2r^2 = 2r^2$.

Ответ: $2r^2$

б) $(a - b + c) - (a - b + d) + (a - c + d) - (b - c + d)$

Раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак «−», все знаки слагаемых внутри этой скобки меняются на противоположные.

$a - b + c - a + b - d + a - c + d - b + c - d$

Сгруппируем подобные слагаемые и выполним сложение:

Слагаемые с $a$: $a - a + a = a$.

Слагаемые с $b$: $-b + b - b = -b$.

Слагаемые с $c$: $c - c + c = c$.

Слагаемые с $d$: $-d + d - d = -d$.

Объединяем полученные слагаемые:

$a - b + c - d$

Ответ: $a - b + c - d$

в) $(x + y + z - 1) - (x - y + z + 1) + (x - y - z + 1) - (x - y - z - 1)$

Раскроем скобки, меняя знаки у слагаемых в тех скобках, перед которыми стоит знак «−».

$x + y + z - 1 - x + y - z - 1 + x - y - z + 1 - x + y + z + 1$

Сгруппируем подобные слагаемые, как при сложении в столбик, и найдем их сумму:

Слагаемые с $x$: $x - x + x - x = (1 - 1 + 1 - 1)x = 0$.

Слагаемые с $y$: $y + y - y + y = (1 + 1 - 1 + 1)y = 2y$.

Слагаемые с $z$: $z - z - z + z = (1 - 1 - 1 + 1)z = 0$.

Числовые слагаемые (константы): $-1 - 1 + 1 + 1 = 0$.

Сумма всех полученных слагаемых равна: $0 + 2y + 0 + 0 = 2y$.

Ответ: $2y$

668 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

Не меняя ни одного знака, расставьте скобки так, чтобы выполнялось равенство:

а) $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1 = 2;$

б) $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1 = -2;$

в) $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1 = 0.$

Для решения этой задачи необходимо расставить скобки в выражении $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1$ так, чтобы получились верные равенства. Ключ к решению в том, что скобки меняют порядок действий, что позволяет изменять знаки некоторых членов выражения.

а) $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1 = 2$

Чтобы в результате получилось 2, необходимо так сгруппировать члены, чтобы переменные $x$ и $x^2$ сократились, а свободные члены дали в сумме 2. Этого можно достичь с помощью вложенных скобок.

Расставим скобки следующим образом:

$x^2 - (3x - (1 - x^2) - 3x - 1) = 2$

Проверим это равенство, раскрыв скобки, начиная с внутренних:

$x^2 - (3x - 1 + x^2 - 3x - 1) = 2$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$x^2 - ((3x - 3x) + x^2 + (-1 - 1)) = 2$

$x^2 - (x^2 - 2) = 2$

Теперь раскроем оставшиеся скобки:

$x^2 - x^2 + 2 = 2$

$2 = 2$

Равенство выполняется для любого значения $x$.

Ответ: $x^2 - (3x - (1 - x^2) - 3x - 1) = 2$.

б) $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1 = -2$

Для получения -2 необходимо, чтобы после сокращения переменных осталась сумма свободных членов, равная -2. Это можно сделать, сгруппировав части выражения так, чтобы знаки перед некоторыми членами изменились на противоположные.

Расставим скобки так:

$x^2 - (3x + 1) - (x^2 - 3x + 1) = -2$

Проверим равенство, раскрыв скобки:

$x^2 - 3x - 1 - x^2 + 3x - 1 = -2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-3x + 3x) + (-1 - 1) = -2$

$0 + 0 - 2 = -2$

$-2 = -2$

Равенство выполняется. Следует отметить, что такая расстановка скобок предполагает, что исходное выражение можно трактовать как последовательность членов, которые можно группировать, изменяя знаки в соответствии с правилами алгебры, что может быть не вполне очевидно из исходной записи.

Ответ: $x^2 - (3x + 1) - (x^2 - 3x + 1) = -2$.

в) $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1 = 0$

Чтобы получить в результате 0, можно сгруппировать члены выражения так, чтобы одна группа вычиталась из другой идентичной группы, либо чтобы все члены взаимно уничтожились.

Рассмотрим следующую расстановку скобок:

$(x^2 - 3x + 1) - (x^2 + 3x + 1) = 0$

Раскроем скобки в левой части:

$x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-3x - 3x) + (1 - 1) = -6x$

Таким образом, мы получаем уравнение:

$-6x = 0$

Это равенство выполняется при $x = 0$. В отличие от пунктов а) и б), здесь равенство выполняется не для всех $x$, а является уравнением с одним корнем. Формулировка задачи ("чтобы выполнялось равенство") допускает такую трактовку.

Ответ: $(x^2 - 3x + 1) - (x^2 + 3x + 1) = 0$.