Номер 664, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.2. Сложение и вычитание многочленов. Глава 7. Многочлены - номер 664, страница 195.

664 РАССУЖДАЕМ Убедитесь в том, что данные многочлены противоположны, и найдите значение каждого из них при заданных значениях переменных:

a) $x - y - z$ и $y + z - x$ при $x = 0,3$, $y = -0,2$, $z = -0,1$;

б) $x^2 + 2x - 1$ и $1 - 2x - x^2$ при $x = -\frac{1}{3}.

а) $x - y - z$ и $y + z - x$ при $x = 0,3, y = -0,2, z = -0,1$

Сначала убедимся, что данные многочлены являются противоположными. Два многочлена называются противоположными, если их сумма равна нулю.

Обозначим первый многочлен как $A = x - y - z$, а второй как $B = y + z - x$.

Найдем их сумму:
$A + B = (x - y - z) + (y + z - x)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x - y - z + y + z - x = (x - x) + (-y + y) + (-z + z) = 0 + 0 + 0 = 0$.
Так как сумма многочленов равна нулю, они действительно являются противоположными.

Теперь найдем значение каждого многочлена при заданных значениях переменных.
Для первого многочлена $x - y - z$:
$0,3 - (-0,2) - (-0,1) = 0,3 + 0,2 + 0,1 = 0,6$.

Для второго многочлена $y + z - x$:
$-0,2 + (-0,1) - 0,3 = -0,2 - 0,1 - 0,3 = -0,6$.

Как и ожидалось, значения многочленов являются противоположными числами.

Ответ: значения многочленов равны $0,6$ и $-0,6$.

б) $x^2 + 2x - 1$ и $1 - 2x - x^2$ при $x = -\frac{1}{3}$

Сначала убедимся, что данные многочлены являются противоположными.

Обозначим первый многочлен как $C = x^2 + 2x - 1$, а второй как $D = 1 - 2x - x^2$.

Найдем их сумму:
$C + D = (x^2 + 2x - 1) + (1 - 2x - x^2)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 2x - 1 + 1 - 2x - x^2 = (x^2 - x^2) + (2x - 2x) + (-1 + 1) = 0 + 0 + 0 = 0$.
Сумма многочленов равна нулю, следовательно, они являются противоположными.

Теперь найдем значение каждого многочлена при $x = -\frac{1}{3}$.
Для первого многочлена $x^2 + 2x - 1$:
$(-\frac{1}{3})^2 + 2 \cdot (-\frac{1}{3}) - 1 = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} - 1 = \frac{1}{9} - \frac{6}{9} - \frac{9}{9} = \frac{1 - 6 - 9}{9} = -\frac{14}{9} = -1\frac{5}{9}$.

Для второго многочлена $1 - 2x - x^2$:
$1 - 2 \cdot (-\frac{1}{3}) - (-\frac{1}{3})^2 = 1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{9} = \frac{9}{9} + \frac{6}{9} - \frac{1}{9} = \frac{9 + 6 - 1}{9} = \frac{14}{9} = 1\frac{5}{9}$.

Как и ожидалось, значения многочленов являются противоположными числами.

Ответ: значения многочленов равны $-\frac{14}{9}$ и $\frac{14}{9}$.