Номер 667, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.2. Сложение и вычитание многочленов. Глава 7. Многочлены - номер 667, страница 195.

667 Упростите выражение, расположив слагаемые в столбик:

а) $(p^2 + q^2 - r^2) + (q^2 + r^2 - p^2) + (r^2 + p^2 - q^2) + (r^2 - p^2 - q^2);$

б) $(a - b + c) - (a - b + d) + (a - c + d) - (b - c + d);$

в) $(x + y + z - 1) - (x - y + z + 1) + (x - y - z + 1) - (x - y - z - 1).$

а) $(p^2 + q^2 - r^2) + (q^2 + r^2 - p^2) + (r^2 + p^2 - q^2) + (r^2 - p^2 - q^2)$

Для упрощения выражения сначала раскроем все скобки. Так как все скобки соединены знаком «+», знаки слагаемых внутри них не изменяются.

$p^2 + q^2 - r^2 + q^2 + r^2 - p^2 + r^2 + p^2 - q^2 + r^2 - p^2 - q^2$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые (что равносильно их расположению в столбик) и приведем их:

Слагаемые с $p^2$: $p^2 - p^2 + p^2 - p^2 = (1 - 1 + 1 - 1)p^2 = 0$.

Слагаемые с $q^2$: $q^2 + q^2 - q^2 - q^2 = (1 + 1 - 1 - 1)q^2 = 0$.

Слагаемые с $r^2$: $-r^2 + r^2 + r^2 + r^2 = (-1 + 1 + 1 + 1)r^2 = 2r^2$.

Складывая полученные результаты, получаем: $0 + 0 + 2r^2 = 2r^2$.

Ответ: $2r^2$

б) $(a - b + c) - (a - b + d) + (a - c + d) - (b - c + d)$

Раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак «−», все знаки слагаемых внутри этой скобки меняются на противоположные.

$a - b + c - a + b - d + a - c + d - b + c - d$

Сгруппируем подобные слагаемые и выполним сложение:

Слагаемые с $a$: $a - a + a = a$.

Слагаемые с $b$: $-b + b - b = -b$.

Слагаемые с $c$: $c - c + c = c$.

Слагаемые с $d$: $-d + d - d = -d$.

Объединяем полученные слагаемые:

$a - b + c - d$

Ответ: $a - b + c - d$

в) $(x + y + z - 1) - (x - y + z + 1) + (x - y - z + 1) - (x - y - z - 1)$

Раскроем скобки, меняя знаки у слагаемых в тех скобках, перед которыми стоит знак «−».

$x + y + z - 1 - x + y - z - 1 + x - y - z + 1 - x + y + z + 1$

Сгруппируем подобные слагаемые, как при сложении в столбик, и найдем их сумму:

Слагаемые с $x$: $x - x + x - x = (1 - 1 + 1 - 1)x = 0$.

Слагаемые с $y$: $y + y - y + y = (1 + 1 - 1 + 1)y = 2y$.

Слагаемые с $z$: $z - z - z + z = (1 - 1 - 1 + 1)z = 0$.

Числовые слагаемые (константы): $-1 - 1 + 1 + 1 = 0$.

Сумма всех полученных слагаемых равна: $0 + 2y + 0 + 0 = 2y$.

Ответ: $2y$