Номер 668, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 7.2. Сложение и вычитание многочленов. Глава 7. Многочлены - номер 668, страница 195.

668 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

Не меняя ни одного знака, расставьте скобки так, чтобы выполнялось равенство:

а) $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1 = 2;$

б) $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1 = -2;$

в) $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1 = 0.$

Для решения этой задачи необходимо расставить скобки в выражении $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1$ так, чтобы получились верные равенства. Ключ к решению в том, что скобки меняют порядок действий, что позволяет изменять знаки некоторых членов выражения.

а) $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1 = 2$

Чтобы в результате получилось 2, необходимо так сгруппировать члены, чтобы переменные $x$ и $x^2$ сократились, а свободные члены дали в сумме 2. Этого можно достичь с помощью вложенных скобок.

Расставим скобки следующим образом:

$x^2 - (3x - (1 - x^2) - 3x - 1) = 2$

Проверим это равенство, раскрыв скобки, начиная с внутренних:

$x^2 - (3x - 1 + x^2 - 3x - 1) = 2$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$x^2 - ((3x - 3x) + x^2 + (-1 - 1)) = 2$

$x^2 - (x^2 - 2) = 2$

Теперь раскроем оставшиеся скобки:

$x^2 - x^2 + 2 = 2$

$2 = 2$

Равенство выполняется для любого значения $x$.

Ответ: $x^2 - (3x - (1 - x^2) - 3x - 1) = 2$.

б) $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1 = -2$

Для получения -2 необходимо, чтобы после сокращения переменных осталась сумма свободных членов, равная -2. Это можно сделать, сгруппировав части выражения так, чтобы знаки перед некоторыми членами изменились на противоположные.

Расставим скобки так:

$x^2 - (3x + 1) - (x^2 - 3x + 1) = -2$

Проверим равенство, раскрыв скобки:

$x^2 - 3x - 1 - x^2 + 3x - 1 = -2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-3x + 3x) + (-1 - 1) = -2$

$0 + 0 - 2 = -2$

$-2 = -2$

Равенство выполняется. Следует отметить, что такая расстановка скобок предполагает, что исходное выражение можно трактовать как последовательность членов, которые можно группировать, изменяя знаки в соответствии с правилами алгебры, что может быть не вполне очевидно из исходной записи.

Ответ: $x^2 - (3x + 1) - (x^2 - 3x + 1) = -2$.

в) $x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1 = 0$

Чтобы получить в результате 0, можно сгруппировать члены выражения так, чтобы одна группа вычиталась из другой идентичной группы, либо чтобы все члены взаимно уничтожились.

Рассмотрим следующую расстановку скобок:

$(x^2 - 3x + 1) - (x^2 + 3x + 1) = 0$

Раскроем скобки в левой части:

$x^2 - 3x + 1 - x^2 - 3x - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-3x - 3x) + (1 - 1) = -6x$

Таким образом, мы получаем уравнение:

$-6x = 0$

Это равенство выполняется при $x = 0$. В отличие от пунктов а) и б), здесь равенство выполняется не для всех $x$, а является уравнением с одним корнем. Формулировка задачи ("чтобы выполнялось равенство") допускает такую трактовку.

Ответ: $(x^2 - 3x + 1) - (x^2 + 3x + 1) = 0$.