Страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

637 Найдите значение выражения:

а) $0.4x - 10$ при $x = -15$;

б) $1 - \frac{1}{3}a$ при $a = 18$;

в) $6a + 0.5b$ при $a = \frac{2}{3}, b = -2$;

г) $0.3x - 0.1y$ при $x = -4, y = -10$.

а) Чтобы найти значение выражения $0,4x - 10$ при $x = -15$, нужно подставить значение $x$ в это выражение и выполнить вычисления.

Подставляем $x = -15$:

$0,4 \cdot (-15) - 10$

Сначала выполняем умножение:

$0,4 \cdot (-15) = -6$

Теперь выполняем вычитание:

$-6 - 10 = -16$

Ответ: -16

б) Чтобы найти значение выражения $1 - \frac{1}{3}a$ при $a = 18$, подставим значение $a$ в выражение.

Подставляем $a = 18$:

$1 - \frac{1}{3} \cdot 18$

Выполняем умножение дроби на число:

$\frac{1}{3} \cdot 18 = \frac{18}{3} = 6$

Теперь выполняем вычитание:

$1 - 6 = -5$

Ответ: -5

в) Чтобы найти значение выражения $6a + 0,5b$ при $a = \frac{2}{3}$ и $b = -2$, подставим соответствующие значения переменных в выражение.

Подставляем $a = \frac{2}{3}$ и $b = -2$:

$6 \cdot \frac{2}{3} + 0,5 \cdot (-2)$

Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности:

$6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 2}{3} = \frac{12}{3} = 4$

$0,5 \cdot (-2) = -1$

Теперь сложим полученные результаты:

$4 + (-1) = 4 - 1 = 3$

Ответ: 3

г) Чтобы найти значение выражения $0,3x - 0,1y$ при $x = -4$ и $y = -10$, подставим значения переменных в выражение.

Подставляем $x = -4$ и $y = -10$:

$0,3 \cdot (-4) - 0,1 \cdot (-10)$

Выполним умножения:

$0,3 \cdot (-4) = -1,2$

$0,1 \cdot (-10) = -1$

Теперь выполним вычитание. Вычесть отрицательное число — это то же самое, что прибавить положительное:

$-1,2 - (-1) = -1,2 + 1 = -0,2$

Ответ: -0,2

638 Найдите значение выражения $y^4 + 2y^2 - 5y + 1$:

а) при $y = -1$;

б) при $y = 1$;

в) при $y = 0$;

г) при $y = \frac{1}{2}$.

а) Для того чтобы найти значение выражения при $y = -1$, подставим это значение в выражение $y^4 + 2y^2 - 5y + 1$:
$(-1)^4 + 2 \cdot (-1)^2 - 5 \cdot (-1) + 1$
Выполним вычисления, учитывая, что отрицательное число в четной степени дает положительный результат:
$(-1)^4 = 1$
$(-1)^2 = 1$
Теперь подставим эти значения в выражение:
$1 + 2 \cdot 1 - 5 \cdot (-1) + 1 = 1 + 2 + 5 + 1 = 9$
Ответ: 9

б) Подставим значение $y = 1$ в выражение $y^4 + 2y^2 - 5y + 1$:
$(1)^4 + 2 \cdot (1)^2 - 5 \cdot (1) + 1$
Выполним вычисления:
$1 + 2 \cdot 1 - 5 \cdot 1 + 1 = 1 + 2 - 5 + 1 = 3 - 5 + 1 = -1$
Ответ: -1

в) Подставим значение $y = 0$ в выражение $y^4 + 2y^2 - 5y + 1$:
$(0)^4 + 2 \cdot (0)^2 - 5 \cdot (0) + 1$
Все члены, содержащие $y$, обращаются в ноль:
$0 + 0 - 0 + 1 = 1$
Ответ: 1

г) Подставим значение $y = \frac{1}{2}$ в выражение $y^4 + 2y^2 - 5y + 1$:
$(\frac{1}{2})^4 + 2 \cdot (\frac{1}{2})^2 - 5 \cdot (\frac{1}{2}) + 1$
Возведем дробь в степень:
$(\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$
$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$
Подставим полученные значения в выражение:
$\frac{1}{16} + 2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 1 = \frac{1}{16} + \frac{2}{4} - \frac{5}{2} + 1$
Приведем все слагаемые к общему знаменателю 16:
$\frac{1}{16} + \frac{2 \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{5 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{16}{16} = \frac{1}{16} + \frac{8}{16} - \frac{40}{16} + \frac{16}{16}$
Теперь сложим и вычтем числители:
$\frac{1 + 8 - 40 + 16}{16} = \frac{25 - 40}{16} = -\frac{15}{16}$
Ответ: $-\frac{15}{16}$

639 Найдите значение данного многочлена при $a = -0,5$:

a) $2a^2 + a - 7;$

б) $-0,4a^2 + 0,3a - 1.$

а) Для того чтобы найти значение многочлена $2a^2 + a - 7$ при $a = -0,5$, необходимо подставить значение $a$ в выражение и выполнить вычисления в соответствии с порядком действий.
Подставляем $a = -0,5$:
$2 \cdot (-0,5)^2 + (-0,5) - 7$
1. Сначала возводим в степень:
$(-0,5)^2 = (-0,5) \cdot (-0,5) = 0,25$
2. Затем выполняем умножение:
$2 \cdot 0,25 = 0,5$
3. Теперь подставляем полученные значения в исходное выражение и выполняем сложение и вычитание:
$0,5 + (-0,5) - 7 = 0,5 - 0,5 - 7 = 0 - 7 = -7$
Ответ: -7

б) Аналогично, найдем значение многочлена $-0,4a^2 + 0,3a - 1$ при $a = -0,5$.
Подставляем $a = -0,5$:
$-0,4 \cdot (-0,5)^2 + 0,3 \cdot (-0,5) - 1$
1. Возводим в степень:
$(-0,5)^2 = 0,25$
2. Выполняем операции умножения:
$-0,4 \cdot 0,25 = -0,1$
$0,3 \cdot (-0,5) = -0,15$
3. Подставляем полученные значения в выражение и выполняем вычитание:
$-0,1 + (-0,15) - 1 = -0,1 - 0,15 - 1 = -0,25 - 1 = -1,25$
Ответ: -1,25

640 Вычислите:

а) $p - 0,5c^3$ при $p = -6, c = -5;

б) $x^3 - 4xy$ при $x = 0,2, y = 0,1.

а) Чтобы вычислить значение выражения $p - 0,5c^3$ при $p = -6$ и $c = -5$, подставим данные значения переменных в выражение.

1. Подставляем значения $p$ и $c$ в выражение:

$p - 0,5c^3 = -6 - 0,5 \cdot (-5)^3$

2. Выполняем возведение в степень. Поскольку степень нечетная (3), отрицательное основание $(-5)$ даст отрицательный результат:

$(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot (-5) = -125$

3. Подставляем полученное значение в выражение:

$-6 - 0,5 \cdot (-125)$

4. Выполняем умножение. Умножение двух отрицательных чисел ($-0,5$ и $-125$) дает положительный результат:

$-0,5 \cdot (-125) = 62,5$

5. Теперь наше выражение выглядит так:

$-6 + 62,5$

6. Выполняем сложение:

$62,5 - 6 = 56,5$

Ответ: $56,5$.

б) Чтобы вычислить значение выражения $x^3 - 4xy$ при $x = 0,2$ и $y = 0,1$, подставим данные значения переменных в выражение.

1. Подставляем значения $x$ и $y$ в выражение:

$x^3 - 4xy = (0,2)^3 - 4 \cdot 0,2 \cdot 0,1$

2. Выполняем возведение в степень:

$(0,2)^3 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 \cdot 0,2 = 0,008$

3. Выполняем умножение:

$4 \cdot 0,2 \cdot 0,1 = 0,8 \cdot 0,1 = 0,08$

4. Теперь выполним вычитание полученных значений:

$0,008 - 0,08$

Для удобства можно представить $0,08$ как $0,080$:

$0,008 - 0,080 = -0,072$

Ответ: $-0,072$.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (641-642)

641 Число диагоналей многоугольника с n вершинами (рис. 7.1) вычисляется по формуле $D = \frac{1}{2}n^2 - \frac{3}{2}n$. Сколько диагоналей имеет:

а) шестиугольник;

б) восьмиугольник;

в) двенадцатиугольник;

г) стоугольник?

Рис. 7.1

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения числа диагоналей $D$ многоугольника с $n$ вершинами: $D = \frac{1}{2}n^2 - \frac{3}{2}n$. Эту формулу можно также записать в более удобном виде: $D = \frac{n(n-3)}{2}$.

а) Для шестиугольника число вершин $n = 6$. Подставим это значение в формулу:
$D = \frac{1}{2}(6)^2 - \frac{3}{2}(6) = \frac{1}{2} \cdot 36 - \frac{18}{2} = 18 - 9 = 9$.
Ответ: 9

б) Для восьмиугольника число вершин $n = 8$. Подставим это значение в формулу:
$D = \frac{1}{2}(8)^2 - \frac{3}{2}(8) = \frac{1}{2} \cdot 64 - \frac{24}{2} = 32 - 12 = 20$.
Ответ: 20

в) Для двенадцатиугольника число вершин $n = 12$. Подставим это значение в формулу:
$D = \frac{1}{2}(12)^2 - \frac{3}{2}(12) = \frac{1}{2} \cdot 144 - \frac{36}{2} = 72 - 18 = 54$.
Ответ: 54

г) Для стоугольника число вершин $n = 100$. Подставим это значение в формулу:
$D = \frac{1}{2}(100)^2 - \frac{3}{2}(100) = \frac{1}{2} \cdot 10000 - \frac{300}{2} = 5000 - 150 = 4850$.
Ответ: 4850

642 Сумму последовательных натуральных чисел от 1 до n можно вычислить по формуле $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$. Рис. 7.1

Используя формулу, вычислите сумму последовательных натуральных чисел:

a) от 1 до 20;

б) от 1 до 100.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу для суммы последовательных натуральных чисел от 1 до n, указанную в условии: $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{1}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$.

а) Вычислим сумму последовательных натуральных чисел от 1 до 20.

В этом случае, значение $n$ равно 20. Подставим $n=20$ в предоставленную формулу:

$S_{20} = \frac{1}{2} \cdot (20)^2 - \frac{1}{2} \cdot 20$

Выполним вычисления по шагам:

$S_{20} = \frac{1}{2} \cdot 400 - \frac{1}{2} \cdot 20$

$S_{20} = 200 - 10$

$S_{20} = 190$

Ответ: 190

б) Вычислим сумму последовательных натуральных чисел от 1 до 100.

В этом случае, значение $n$ равно 100. Подставим $n=100$ в предоставленную формулу:

$S_{100} = \frac{1}{2} \cdot (100)^2 - \frac{1}{2} \cdot 100$

Выполним вычисления по шагам:

$S_{100} = \frac{1}{2} \cdot 10000 - \frac{1}{2} \cdot 100$

$S_{100} = 5000 - 50$

$S_{100} = 4950$

Ответ: 4950

643 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

a) Сигнальная ракета выпущена под углом 45° к горизонту с начальной скоростью 30 м/с. Высоту (в метрах), на которой находится ракета, можно при этих условиях вычислить, подставив время полёта (в секундах) в многочлен $2 + 21t - 5t^2$. На какой высоте окажется ракета через 2 с после запуска? через 4 с?

б) Футболист на тренировке подбрасывает мяч головой вертикально вверх, сообщая ему начальную скорость 10 м/с. В этом случае высота, на которой находится мяч, может быть приближённо вычислена по формуле $h = 2 + 10t - 5t^2$, где $h$ — высота полёта (в метрах), $t$ — время (в секундах). На какой высоте будет находиться мяч через 1 с? через 1,5 с? через 2 с?

а)

В данной задаче высота ракеты $h$ (в метрах) в зависимости от времени полёта $t$ (в секундах) описывается многочленом $h(t) = 2 + 21t - 5t^2$. Чтобы найти высоту в определённый момент времени, необходимо подставить соответствующее значение $t$ в эту формулу.

1. Найдём высоту ракеты через 2 секунды после запуска. Для этого подставим $t = 2$ в формулу:

$h(2) = 2 + 21 \cdot 2 - 5 \cdot 2^2 = 2 + 42 - 5 \cdot 4 = 44 - 20 = 24$ (м).

2. Найдём высоту ракеты через 4 секунды после запуска. Для этого подставим $t = 4$ в формулу:

$h(4) = 2 + 21 \cdot 4 - 5 \cdot 4^2 = 2 + 84 - 5 \cdot 16 = 86 - 80 = 6$ (м).

Ответ: через 2 с ракета окажется на высоте 24 метра, а через 4 с — на высоте 6 метров.

б)

Высота мяча $h$ (в метрах) в зависимости от времени $t$ (в секундах) вычисляется по формуле $h = 2 + 10t - 5t^2$. Чтобы найти высоту мяча в заданные моменты времени, нужно подставить эти значения времени в формулу.

1. Найдём высоту мяча через 1 секунду. Подставим $t = 1$:

$h(1) = 2 + 10 \cdot 1 - 5 \cdot 1^2 = 2 + 10 - 5 = 7$ (м).

2. Найдём высоту мяча через 1,5 секунды. Подставим $t = 1,5$:

$h(1,5) = 2 + 10 \cdot 1,5 - 5 \cdot (1,5)^2 = 2 + 15 - 5 \cdot 2,25 = 17 - 11,25 = 5,75$ (м).

3. Найдём высоту мяча через 2 секунды. Подставим $t = 2$:

$h(2) = 2 + 10 \cdot 2 - 5 \cdot 2^2 = 2 + 20 - 5 \cdot 4 = 22 - 20 = 2$ (м).

Ответ: через 1 с мяч будет на высоте 7 метров, через 1,5 с — на высоте 5,75 метра, через 2 с — на высоте 2 метра.