Страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

619 Упростите выражение:

а) $2^{2n} \cdot 16$;

б) $2^3 \cdot 8^n$;

в) $25^n \cdot 125^5$;

г) $9^4 \cdot 81^{2n}$.

а) $2^{2n} \cdot 16$

Для упрощения выражения необходимо привести все множители к одному основанию. В данном случае это основание 2. Представим число 16 как степень числа 2:

$16 = 2^4$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$2^{2n} \cdot 16 = 2^{2n} \cdot 2^4$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применим это свойство:

$2^{2n} \cdot 2^4 = 2^{2n+4}$

Ответ: $2^{2n+4}$

б) $2^3 \cdot 8^n$

Чтобы упростить выражение, приведем все множители к общему основанию 2. Представим число 8 как степень числа 2:

$8 = 2^3$

Подставим это значение в выражение:

$2^3 \cdot 8^n = 2^3 \cdot (2^3)^n$

Далее используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$2^3 \cdot (2^3)^n = 2^3 \cdot 2^{3 \cdot n} = 2^3 \cdot 2^{3n}$

Теперь применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^3 \cdot 2^{3n} = 2^{3+3n}$

Ответ: $2^{3n+3}$

в) $25^n \cdot 125^5$

Для упрощения приведем множители к общему основанию 5. Представим числа 25 и 125 как степени числа 5:

$25 = 5^2$

$125 = 5^3$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$25^n \cdot 125^5 = (5^2)^n \cdot (5^3)^5$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для обоих множителей:

$(5^2)^n \cdot (5^3)^5 = 5^{2 \cdot n} \cdot 5^{3 \cdot 5} = 5^{2n} \cdot 5^{15}$

Наконец, применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{2n} \cdot 5^{15} = 5^{2n+15}$

Ответ: $5^{2n+15}$

г) $9^4 \cdot 81^{2n}$

Приведем все множители к общему основанию. Можно выбрать основание 9, так как $81 = 9^2$. Или можно выбрать основание 3, так как $9 = 3^2$ и $81 = 3^4$. Выберем основание 3.

$9 = 3^2$

$81 = 3^4$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$9^4 \cdot 81^{2n} = (3^2)^4 \cdot (3^4)^{2n}$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(3^2)^4 \cdot (3^4)^{2n} = 3^{2 \cdot 4} \cdot 3^{4 \cdot 2n} = 3^8 \cdot 3^{8n}$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^8 \cdot 3^{8n} = 3^{8+8n}$

Ответ: $3^{8n+8}$

620 Какое выражение надо подставить вместо a, чтобы полученное равенство было верным:

а) $a^2 = x^{20}$;

б) $a^5 = -x^{15}$;

в) $x^{11} = a^3 \cdot x^5$;

г) $(-x)^3 (-x)^6 = a^3$?

а) Чтобы найти выражение для $a$, нужно решить уравнение $a^2 = x^{20}$.

Используя свойство степени $(b^m)^n = b^{m \cdot n}$, представим правую часть уравнения в виде квадрата некоторого выражения. Так как $20 = 10 \cdot 2$, то $x^{20} = (x^{10})^2$.

Уравнение примет вид: $a^2 = (x^{10})^2$.

Из этого равенства следует, что основание $a$ может быть равно $x^{10}$ или $-x^{10}$, так как при возведении в квадрат обоих этих выражений получается $x^{20}$.

Проверка: $(x^{10})^2 = x^{10 \cdot 2} = x^{20}$ и $(-x^{10})^2 = (-1)^2 \cdot (x^{10})^2 = 1 \cdot x^{20} = x^{20}$.

Ответ: $x^{10}$ или $-x^{10}$.

б) Рассмотрим равенство $a^5 = -x^{15}$.

Представим правую часть в виде пятой степени некоторого выражения. Используем свойства степеней: $-x^{15} = (-1) \cdot x^{15}$. Так как $-1 = (-1)^5$ и $x^{15} = x^{3 \cdot 5} = (x^3)^5$, получаем:

$-x^{15} = (-1)^5 \cdot (x^3)^5 = (-1 \cdot x^3)^5 = (-x^3)^5$.

Уравнение принимает вид: $a^5 = (-x^3)^5$.

Так как показатель степени (5) нечетный, то основания степеней должны быть равны: $a = -x^3$.

Проверка: $(-x^3)^5 = (-1)^5 \cdot (x^3)^5 = -1 \cdot x^{15} = -x^{15}$.

Ответ: $-x^3$.

в) Дано равенство $x^{11} = a^3 \cdot x^5$.

Для того чтобы найти $a^3$, разделим обе части уравнения на $x^5$ (при условии, что $x \neq 0$):

$a^3 = \frac{x^{11}}{x^5}$

По свойству деления степеней с одинаковым основанием $\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$ получаем:

$a^3 = x^{11-5} = x^6$.

Теперь нужно найти $a$, извлекая кубический корень. Представим $x^6$ в виде куба некоторого выражения: $x^6 = x^{2 \cdot 3} = (x^2)^3$.

Получаем уравнение: $a^3 = (x^2)^3$.

Отсюда следует, что $a = x^2$.

Проверка: $(x^2)^3 \cdot x^5 = x^{2 \cdot 3} \cdot x^5 = x^6 \cdot x^5 = x^{6+5} = x^{11}$.

Ответ: $x^2$.

г) Рассмотрим равенство $(-x)^3(-x)^6 = a^3$.

Сначала упростим левую часть, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$:

$(-x)^3(-x)^6 = (-x)^{3+6} = (-x)^9$.

Уравнение принимает вид: $(-x)^9 = a^3$.

Чтобы найти $a$, представим левую часть в виде куба некоторого выражения: $(-x)^9 = (-x)^{3 \cdot 3} = ((-x)^3)^3$.

Получаем: $a^3 = ((-x)^3)^3$.

Отсюда $a = (-x)^3$.

Упростим выражение для $a$: $a = (-1 \cdot x)^3 = (-1)^3 \cdot x^3 = -1 \cdot x^3 = -x^3$.

Проверка: левая часть $(-x)^3(-x)^6 = (-x)^9 = -x^9$. Правая часть $a^3 = (-x^3)^3 = -x^9$. Равенство верное.

Ответ: $-x^3$.

621 Найдите:

а) $5^{m+2}$, если $5^m = c$;

б) $6^{2m+1}$, если $6^m = a$;

в) $2^{m-1}$, если $2^m = y$;

г) $3^{3(m-1)}$, если $3^m = p$.

а)

Для нахождения значения выражения $5^{m+2}$ воспользуемся свойством степени $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$.

Применив это свойство, мы можем переписать исходное выражение следующим образом:
$5^{m+2} = 5^m \cdot 5^2$

Из условия задачи нам известно, что $5^m = c$. Также мы знаем, что $5^2 = 25$.

Теперь подставим эти значения в наше выражение:
$5^m \cdot 5^2 = c \cdot 25 = 25c$

Ответ: $25c$

б)

Для нахождения значения выражения $6^{2m+1}$ будем использовать свойства степеней: $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ и $(a^x)^y = a^{xy}$.

Сначала применим свойство сложения показателей:
$6^{2m+1} = 6^{2m} \cdot 6^1$

Далее преобразуем множитель $6^{2m}$, используя свойство возведения степени в степень:
$6^{2m} = (6^m)^2$

По условию задачи $6^m = a$. Подставим это значение:
$(6^m)^2 = a^2$

Теперь объединим все части:
$6^{2m+1} = 6^{2m} \cdot 6^1 = (6^m)^2 \cdot 6 = a^2 \cdot 6 = 6a^2$

Ответ: $6a^2$

в)

Чтобы найти значение выражения $2^{m-1}$, используем свойство степени $a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y}$.

Применяя это свойство, получаем:
$2^{m-1} = \frac{2^m}{2^1}$

Из условия известно, что $2^m = y$. Также $2^1 = 2$.

Подставим известные значения в полученную дробь:
$\frac{2^m}{2^1} = \frac{y}{2}$

Ответ: $\frac{y}{2}$

г)

Чтобы найти значение выражения $3^{3(m-1)}$, сначала упростим показатель степени, раскрыв скобки: $3(m-1) = 3m - 3$.

Таким образом, нам нужно найти $3^{3m-3}$. Для этого воспользуемся свойствами степеней: $a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y}$ и $(a^x)^y = a^{xy}$.

Применим свойство разности показателей:
$3^{3m-3} = \frac{3^{3m}}{3^3}$

Теперь преобразуем числитель дроби $3^{3m}$:
$3^{3m} = (3^m)^3$

По условию задачи $3^m = p$. Подставим это значение:
$(3^m)^3 = p^3$

Знаменатель дроби равен $3^3 = 27$.

Теперь соберем все вместе и получим окончательный результат:
$3^{3(m-1)} = \frac{3^{3m}}{3^3} = \frac{p^3}{27}$

Ответ: $\frac{p^3}{27}$

622 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Решите задачу, представив данные с помощью степени числа 10. (При вычислениях используйте калькулятор.)

а) Ростовская область занимает территорию в 100,8 тыс. км$^{2}$, а её население составляет 4,1 млн человек. Какова плотность населения Ростовской области (число человек на 1 км$^{2}$)?

б) Радиус Земли приближённо равен 6,37 тыс. км. Вычислите площадь её поверхности (в млн кв. км) по формуле площади поверхности сферы $S = 4\pi R^{2}$, где $R$ — радиус сферы, $\pi \approx 3,14$.

a)

Для нахождения плотности населения необходимо разделить численность населения на площадь занимаемой территории. Согласно условию задачи, представим исходные данные с помощью степени числа 10.

Площадь территории Ростовской области: $S = 100,8 \text{ тыс. км}^2 = 100,8 \times 10^3 \text{ км}^2 = 1,008 \times 10^5 \text{ км}^2$.

Численность населения: $N = 4,1 \text{ млн человек} = 4,1 \times 10^6 \text{ человек}$.

Плотность населения ($P$) вычисляется по формуле: $P = \frac{N}{S}$.

Подставим значения и произведем расчет:

$P = \frac{4,1 \times 10^6 \text{ человек}}{1,008 \times 10^5 \text{ км}^2} = \frac{4,1}{1,008} \times \frac{10^6}{10^5} \text{ чел./км}^2$.

Используя калькулятор, находим:

$P \approx 4,06746 \times 10^1 \text{ чел./км}^2 \approx 40,6746 \text{ чел./км}^2$.

Округлим полученный результат до одного знака после запятой.

Ответ: Плотность населения Ростовской области составляет приблизительно 40,7 человек на 1 км².

б)

Для вычисления площади поверхности Земли воспользуемся формулой площади поверхности сферы $S = 4\pi R^2$, где $R$ – радиус, а значение $\pi$ примем равным 3,14.

Сначала представим радиус Земли в километрах, используя степень числа 10:

$R = 6,37 \text{ тыс. км} = 6,37 \times 10^3 \text{ км}$.

Теперь подставим все известные значения в формулу:

$S \approx 4 \times 3,14 \times (6,37 \times 10^3 \text{ км})^2$.

Выполним вычисления по шагам. Сначала возведем радиус в квадрат:

$(6,37 \times 10^3)^2 = 6,37^2 \times (10^3)^2 = 40,5769 \times 10^6 \text{ км}^2$.

Теперь вычислим площадь, используя калькулятор:

$S \approx 4 \times 3,14 \times 40,5769 \times 10^6 \text{ км}^2 \approx 12,56 \times 40,5769 \times 10^6 \text{ км}^2 \approx 509,646064 \times 10^6 \text{ км}^2$.

В задаче требуется представить ответ в миллионах квадратных километров. Так как $1 \text{ млн} = 10^6$, то площадь поверхности Земли составляет примерно $509,65$ млн км².

Учитывая, что исходные данные ($R$ и $\pi$) даны с тремя значащими цифрами, целесообразно округлить итоговый результат также до трех значащих цифр.

Ответ: Площадь поверхности Земли приблизительно равна 510 млн км².

623 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Ваня знает, что номер телефона его друга состоит из четырёх цифр: 1, 2, 3, 4, но не помнит, в каком порядке их надо набирать. Сколько вариантов в худшем случае ему придётся перебрать, чтобы дозвониться до друга?

Данная задача относится к разделу комбинаторики и решается с помощью нахождения числа перестановок. У нас есть набор из четырёх различных элементов (цифры 1, 2, 3, 4), и нам нужно найти, сколькими способами их можно расположить в ряд.

Рассуждаем следующим образом:

• На первое место в номере телефона можно поставить любую из четырёх цифр. У нас есть 4 варианта.
• Когда первая цифра выбрана, на второе место остаётся выбрать одну из трёх оставшихся цифр. У нас есть 3 варианта.
• Для третьего места остаётся две цифры, то есть 2 варианта.
• Наконец, для последнего, четвёртого, места остаётся только одна цифра, то есть 1 вариант.

Чтобы найти общее число всех возможных комбинаций (вариантов номера), нужно перемножить число вариантов для каждой позиции. Это правило умножения в комбинаторике.
Количество вариантов = $4 \times 3 \times 2 \times 1$.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ называется факториалом числа $n$ и обозначается как $n!$. В нашем случае мы вычисляем факториал числа 4:
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Таким образом, существует 24 различных варианта телефонного номера. В худшем случае Ване придётся перебрать все возможные варианты, пока он не найдет правильный. Это означает, что ему придётся проверить 24 комбинации.

Ответ: 24.

624 Мальчикам одной школы дали список из пяти известных футболистов: Андрей Аршавин, Динияр Билялетдинов, Алан Дзагоев, Юрий Жирков, Александр Кержаков. Каждый из мальчиков должен был присвоить футболистам места с первого по пятое в соответствии со своими симпатиями. Можно ли утверждать, что среди списков, полученных в результате такого опроса, будут одинаковые, если в школе учится 128 мальчиков?

Для решения этой задачи нужно определить, сколько всего существует различных способов расставить пятерых футболистов по местам с первого по пятое, а затем сравнить это количество с числом мальчиков.

Составление рейтинга из 5 футболистов — это задача на нахождение числа перестановок из 5 элементов. На первое место можно поставить любого из 5 футболистов. После того как первое место занято, на второе место остается 4 кандидата. На третье — 3, на четвертое — 2, и на последнее, пятое место, остается только один футболист.

Общее количество возможных уникальных списков (перестановок) равно произведению этих чисел, что вычисляется как факториал числа 5:

$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Итак, существует всего 120 различных вариантов рейтинга.

Теперь применим принцип Дирихле. Он гласит, что если нужно разместить $N$ объектов по $M$ контейнерам, и число объектов $N$ больше числа контейнеров $M$, то хотя бы в одном контейнере будет находиться более одного объекта.

В нашем случае:

• "Объекты" — это мальчики, их 128.
• "Контейнеры" — это возможные уникальные списки, их 120.

Поскольку количество мальчиков (128) больше количества возможных уникальных списков (120), то, по принципу Дирихле, как минимум два мальчика должны будут составить одинаковые списки.

Ответ: Да, можно утверждать, что среди 128 списков, составленных мальчиками, обязательно найдутся одинаковые.

625 Сколько можно составить пятизначных чисел, меньших 7000, из цифр 1, 3, 5, 7, 9 (без повторения цифр)?

Для решения этой задачи необходимо проанализировать все её условия:
1. Число должно быть пятизначным.
2. Число должно быть меньше 7000.
3. Число должно быть составлено из цифр 1, 3, 5, 7, 9.
4. Цифры в числе не должны повторяться.

В данных условиях содержится логическое противоречие. Пятизначные числа — это целые числа в диапазоне от 10000 до 99999. Любое число из этого диапазона не может быть меньше 7000. Таким образом, при строгом следовании условию, не существует ни одного числа, удовлетворяющего всем требованиям.

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее логичным исправлением будет предположить, что искомые числа должны быть меньше 70000, а не 7000. При таком допущении задача имеет осмысленное решение.

Решение задачи при условии, что числа должны быть меньше 70000:

Нам нужно сформировать пятизначное число, используя 5 различных цифр из набора {1, 3, 5, 7, 9}.

Рассмотрим выбор цифры для каждого разряда числа:

- Первая цифра (разряд десятков тысяч): Чтобы число было меньше 70000, на этой позиции может стоять только цифра, которая меньше 7. Из нашего набора {1, 3, 5, 7, 9} подходят цифры 1, 3 и 5. Таким образом, у нас есть 3 варианта для выбора первой цифры.

- Вторая цифра (разряд тысяч): После выбора первой цифры у нас осталось 4 неиспользованных цифры из исходного набора. Любая из них может стоять на второй позиции. Следовательно, у нас есть 4 варианта.

- Третья цифра (разряд сотен): Две цифры уже заняты. Осталось 3 неиспользованных цифры. Значит, для третьей позиции есть 3 варианта.

- Четвертая цифра (разряд десятков): Осталось 2 неиспользованных цифры, то есть 2 варианта.

- Пятая цифра (разряд единиц): Осталась последняя, 1 цифра, то есть 1 вариант.

Для нахождения общего количества возможных чисел необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции, согласно правилу произведения в комбинаторике.

Число возможных комбинаций = (варианты для 1-й цифры) × (варианты для 2-й цифры) × (варианты для 3-й цифры) × (варианты для 4-й цифры) × (варианты для 5-й цифры).

Количество чисел = $3 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$.

Вычисление можно также представить с использованием факториала для оставшихся четырех позиций: $N = 3 \times 4! = 3 \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) = 3 \times 24 = 72$.

Ответ: Если считать, что в условии задачи допущена опечатка и имелись в виду числа, меньшие 70000, то можно составить 72 таких числа. Если же трактовать условие задачи буквально, то таких чисел не существует, и ответ — 0.

626 Номера телефонов компании «Мобильная связь» состоят из 11 цифр, причём первой цифрой должна быть цифра 8, второй — цифра 5, третьей — цифра 0. На четвёртом и пятом местах не может стоять цифра 0. Определите, сколько номеров телефонов может предложить эта компания.

Для решения этой задачи воспользуемся комбинаторным правилом умножения. Нам нужно определить количество возможных вариантов для каждой из 11 цифр телефонного номера и перемножить их.

Телефонный номер имеет следующую структуру:

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (11 позиций для цифр)

Рассмотрим каждую позицию в соответствии с условиями задачи:

• Первая позиция: должна быть цифра 8. Это означает, что для первой позиции есть только 1 возможный вариант.

• Вторая позиция: должна быть цифра 5. Для второй позиции также есть только 1 возможный вариант.

• Третья позиция: должна быть цифра 0. Для третьей позиции снова 1 возможный вариант.

• Четвёртая позиция: не может стоять цифра 0. Всего существует 10 цифр (от 0 до 9). Исключая 0, получаем $10 - 1 = 9$ возможных вариантов.

• Пятая позиция: так же, как и на четвертой, не может стоять цифра 0. Следовательно, здесь тоже 9 возможных вариантов.

• Позиции с шестой по одиннадцатую: для этих 6 позиций нет никаких ограничений. Значит, на каждой из них может стоять любая из 10 цифр (от 0 до 9). Это дает по 10 вариантов для каждой из шести позиций.

Теперь, чтобы найти общее количество возможных номеров, перемножим количество вариантов для каждой позиции:

$N = 1 \times 1 \times 1 \times 9 \times 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10$

Это можно записать в виде степеней:

$N = 1^3 \times 9^2 \times 10^6$

Выполним вычисления:

$N = 1 \times 81 \times 1\;000\;000 = 81\;000\;000$

Таким образом, компания может предложить 81 миллион различных номеров телефонов.

Ответ: $81\;000\;000$