Номер 620, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 620, страница 183.

620 Какое выражение надо подставить вместо a, чтобы полученное равенство было верным:

а) $a^2 = x^{20}$;

б) $a^5 = -x^{15}$;

в) $x^{11} = a^3 \cdot x^5$;

г) $(-x)^3 (-x)^6 = a^3$?

а) Чтобы найти выражение для $a$, нужно решить уравнение $a^2 = x^{20}$.

Используя свойство степени $(b^m)^n = b^{m \cdot n}$, представим правую часть уравнения в виде квадрата некоторого выражения. Так как $20 = 10 \cdot 2$, то $x^{20} = (x^{10})^2$.

Уравнение примет вид: $a^2 = (x^{10})^2$.

Из этого равенства следует, что основание $a$ может быть равно $x^{10}$ или $-x^{10}$, так как при возведении в квадрат обоих этих выражений получается $x^{20}$.

Проверка: $(x^{10})^2 = x^{10 \cdot 2} = x^{20}$ и $(-x^{10})^2 = (-1)^2 \cdot (x^{10})^2 = 1 \cdot x^{20} = x^{20}$.

Ответ: $x^{10}$ или $-x^{10}$.

б) Рассмотрим равенство $a^5 = -x^{15}$.

Представим правую часть в виде пятой степени некоторого выражения. Используем свойства степеней: $-x^{15} = (-1) \cdot x^{15}$. Так как $-1 = (-1)^5$ и $x^{15} = x^{3 \cdot 5} = (x^3)^5$, получаем:

$-x^{15} = (-1)^5 \cdot (x^3)^5 = (-1 \cdot x^3)^5 = (-x^3)^5$.

Уравнение принимает вид: $a^5 = (-x^3)^5$.

Так как показатель степени (5) нечетный, то основания степеней должны быть равны: $a = -x^3$.

Проверка: $(-x^3)^5 = (-1)^5 \cdot (x^3)^5 = -1 \cdot x^{15} = -x^{15}$.

Ответ: $-x^3$.

в) Дано равенство $x^{11} = a^3 \cdot x^5$.

Для того чтобы найти $a^3$, разделим обе части уравнения на $x^5$ (при условии, что $x \neq 0$):

$a^3 = \frac{x^{11}}{x^5}$

По свойству деления степеней с одинаковым основанием $\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$ получаем:

$a^3 = x^{11-5} = x^6$.

Теперь нужно найти $a$, извлекая кубический корень. Представим $x^6$ в виде куба некоторого выражения: $x^6 = x^{2 \cdot 3} = (x^2)^3$.

Получаем уравнение: $a^3 = (x^2)^3$.

Отсюда следует, что $a = x^2$.

Проверка: $(x^2)^3 \cdot x^5 = x^{2 \cdot 3} \cdot x^5 = x^6 \cdot x^5 = x^{6+5} = x^{11}$.

Ответ: $x^2$.

г) Рассмотрим равенство $(-x)^3(-x)^6 = a^3$.

Сначала упростим левую часть, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$:

$(-x)^3(-x)^6 = (-x)^{3+6} = (-x)^9$.

Уравнение принимает вид: $(-x)^9 = a^3$.

Чтобы найти $a$, представим левую часть в виде куба некоторого выражения: $(-x)^9 = (-x)^{3 \cdot 3} = ((-x)^3)^3$.

Получаем: $a^3 = ((-x)^3)^3$.

Отсюда $a = (-x)^3$.

Упростим выражение для $a$: $a = (-1 \cdot x)^3 = (-1)^3 \cdot x^3 = -1 \cdot x^3 = -x^3$.

Проверка: левая часть $(-x)^3(-x)^6 = (-x)^9 = -x^9$. Правая часть $a^3 = (-x^3)^3 = -x^9$. Равенство верное.

Ответ: $-x^3$.