Номер 627, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 627, страница 184.

627 Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 4, 5, 6, 8, используя в числе каждую цифру только один раз? Сколько среди них чётных чисел и сколько нечётных?

Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 4, 5, 6, 8, используя в числе каждую цифру только один раз?

Нам дано 6 различных цифр: {1, 2, 4, 5, 6, 8}. Необходимо составить из них шестизначные числа, причем каждая цифра должна использоваться ровно один раз. Это классическая задача на нахождение числа перестановок, так как важен порядок цифр и все они участвуют в составлении числа.

Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.

В нашем случае количество цифр $n=6$. Следовательно, общее количество возможных шестизначных чисел равно числу перестановок из 6 элементов:

$P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$.

Ответ: 720 чисел.

Сколько среди них чётных чисел и сколько нечётных?

Количество чётных чисел:

Число является чётным, если его последняя цифра — чётная. В предоставленном наборе цифр {1, 2, 4, 5, 6, 8} есть 4 чётные цифры: {2, 4, 6, 8}.

1. Начнем с последней цифры числа. На это место можно поставить любую из 4-х чётных цифр. Таким образом, у нас есть 4 варианта выбора.

2. После того как последняя цифра выбрана, у нас остается 5 цифр. Эти 5 цифр нужно расставить на оставшиеся 5 позиций (с первой по пятую). Число способов сделать это равно числу перестановок из 5 элементов, то есть $P_5 = 5!$.

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

3. По правилу произведения в комбинаторике, общее количество чётных чисел равно произведению числа способов выбора последней цифры на число способов расстановки остальных цифр:

$4 \times 5! = 4 \times 120 = 480$.

Количество нечётных чисел:

Число является нечётным, если его последняя цифра — нечётная. В нашем наборе есть 2 нечётные цифры: {1, 5}.

1. На последнюю позицию в числе можно поставить одну из 2-х нечётных цифр. Таким образом, есть 2 варианта выбора.

2. Оставшиеся 5 цифр можно расставить на 5 свободных местах $5! = 120$ способами.

3. Общее количество нечётных чисел равно:

$2 \times 5! = 2 \times 120 = 240$.

Для проверки можно сложить количество чётных и нечётных чисел: $480 + 240 = 720$. Это число совпадает с общим количеством шестизначных чисел, найденным ранее.

Ответ: 480 чётных чисел и 240 нечётных чисел.