Номер 632, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 632, страница 184.

632 Сколько существует четырёхзначных чисел, в записи которых встречается хотя бы одна чётная цифра?

Решение:

Для решения этой задачи удобнее использовать метод от противного. Мы найдем общее количество всех четырехзначных чисел, а затем найдем количество четырехзначных чисел, которые НЕ удовлетворяют условию, то есть тех, в записи которых нет ни одной четной цифры (все цифры нечетные). После этого вычтем второе из первого, и результат будет искомым числом.

1. Найдем общее количество четырехзначных чисел. Четырехзначные числа — это целые числа от 1000 до 9999. Первая цифра (разряд тысяч) может быть любой от 1 до 9 (9 вариантов), так как число не может начинаться с 0. Вторая, третья и четвертая цифры могут быть любыми от 0 до 9 (по 10 вариантов для каждой). Общее количество четырехзначных чисел равно произведению количества вариантов для каждой цифры: $N_{общ} = 9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000$ чисел.

2. Найдем количество четырехзначных чисел, в записи которых все цифры нечетные. Нечетные цифры, которые мы можем использовать: {1, 3, 5, 7, 9}. Всего их 5. Для того чтобы число состояло только из нечетных цифр, каждая из его четырех цифр должна быть нечетной. - Для первой цифры есть 5 вариантов (1, 3, 5, 7, 9). - Для второй цифры есть 5 вариантов (1, 3, 5, 7, 9). - Для третьей цифры есть 5 вариантов (1, 3, 5, 7, 9). - Для четвертой цифры есть 5 вариантов (1, 3, 5, 7, 9). Количество таких чисел равно: $N_{нечет} = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625$ чисел.

3. Найдем количество четырехзначных чисел, в которых встречается хотя бы одна четная цифра. Для этого из общего количества четырехзначных чисел вычтем количество чисел, состоящих только из нечетных цифр: $N = N_{общ} - N_{нечет} = 9000 - 625 = 8375$ чисел.

Ответ: 8375